介绍

今天我们要照顾第一年线性代数学生的祸根：矩阵定性！显然这还没有挑战，所以我们开始：

输入项

• 任何方便格式的$n\times n$ 对称矩阵$A$（当然，您也可以只取矩阵的上部或下部）
• 可选：矩阵的大小$n$

该怎么办？

挑战很简单：给定一个实值矩阵$n\times n$矩阵，如果输出真值，则输出真值，否则输出假值，从而确定其是否为正定值。

您可能会假定内置程序能够真正正确地工作，因此不必考虑数值问题，如果“可证明”的策略/代码产生正确的结果，则可能导致错误的行为。

谁赢？

这是代码高尔夫球，因此以字节（每个语言）为单位的最短代码为准！

---

反正矩阵是什么？

当对称矩阵为正定时，显然有6个等价公式。我将重现这三个简单的文章，并为更复杂的文章引用Wikipedia。

• 如果$\forall v\in\mathbb R^n\setminus \{0\}: v^T Av>0$则$A$是正定的。
  可以将其重新公式化为：
  如果对于每个非零向量$v$，$v$和$Av$的（标准）点积为正，则$A$为正定。
• 让$\lambda_i\quad i\in\{1,\ldots,n\}$是特征值的$A$，如果现在$\forall i\in\{1,\ldots,n\}:\lambda_i>0$（这是所有本征值是正的），然后$A$是正定的。
  如果您不知道特征值是什么，我建议您使用自己喜欢的搜索引擎进行查找，因为本文中的解释（以及所需的计算策略）太长了。
• 如果乔列斯基分解的$A$存在，即存在一个下三角矩阵$L$使得$LL^T=A$然后$A$是正定的。请注意，如果在任何时候由于负参数导致算法期间根的计算失败，则这等效于提早返回“ false”。

例子

为真实输出

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&1&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&5&0\\2&0&30\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45\\2.45&9.37\end{pmatrix}$$

虚假输出

（至少一个特征值是0 /正半定）

$$\begin{pmatrix}3&-2&2\\-2&4&0\\2&0&2\end{pmatrix}$$

（特征值具有不同的符号/不确定）

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

（所有特征值均小于0 /负定数）

$$\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

（所有特征值小于0 /负定的）

$$\begin{pmatrix}-2&3&0\\3&-5&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

（所有特征值小于0 /负定的）

$$\begin{pmatrix}-7.15&-2.45\\-2.45&-9.37\end{pmatrix}$$

（三个正，一个负特征值/不确定）

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45&1.23&3.5\\2.45&9.37&2.71&3.14\\1.23&2.71&0&6.2\\3.5&3.14&6.2&0.56\end{pmatrix}$$

C，108字节

-1字节归因于Logern
-3字节归因于ceilingcat

f(M,n,i)double**M;{for(i=n*n;i--;)M[i/n][i%n]-=M[n][i%n]*M[i/n][n]/M[n][n];return M[n][n]>0&(!n||f(M,n-1));}

在线尝试！

执行高斯消除，并检查所有对角元素是否均为正（Sylvester准则）。参数n是矩阵的大小减一。

MATLAB / Octave，19 17 12字节

@(A)eig(A)>0

在线尝试！

函数eig按升序提供特征值，因此，如果第一个特征值大于零，则其他特征值也是如此。

果冻，11 10字节

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0

使用Sylvester的标准。

在线尝试！

怎么运行的

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0  Main link. Argument: M (matrix)

   $Ƭ       Do the following until a fixed point is encountered.
Ṗ             Pop; remove the last row of the matrix.
 Ṗ€           Pop each; remove the last entry of each row.
     ÆḊ     Take the determinants of the resulting minors.
       Ṃ    Take the minimum.
        >0  Test if the least determinant is positive, i.e., if all determinants are.

R，29个字节

function(m)all(eigen(m)$va>0)

在线尝试！

---

使用cholesky的替代方法：

R，34 33字节

function(m)is.array(try(chol(m)))

在线尝试！

-1字节感谢@Giuseppe

Haskell，56个字节

f((x:y):z)=x>0&&f[zipWith(-)v$map(u/x*)y|u:v<-z]
f[]=1>0

在线尝试！

基本上是nwellnhof的答案。执行高斯消除，并检查主对角线上的元素是否为正。

由于舍入误差而使第一个虚假输出失败，但是理论上它将以无限的精度工作。多亏了Curtis Bechtel的建议，现在所有输出都是正确的。

Wolfram语言（Mathematica），20个字节

0<Min@Eigenvalues@#&

在线尝试！

MATL，4个字节

Yv0>

在线尝试！

[3 -2 2; -2 4 0; 2 0 2]0$10^{-18}$

Mathematica，29 28字节

AllTrue[Eigenvalues@#,#>0&]&

定义2。

朱莉娅1.0，28字节

using LinearAlgebra
isposdef

在线尝试！

---

朱莉娅0.6，8字节

isposdef

在线尝试！

MATL，6个字节

可以使用更少的字节@Mr来实现。Xcoder设法找到一个5字节的MATL答案！

YvX<0>

说明

Yv     compute eigenvalues
  X<   take the minimum
    0> check whether it is greather than zero

在线尝试！

枫树，33字节

（即我的2美分）

with(LinearAlgebra):
IsDefinite(A)

JavaScript（ES6）， 99 95  88字节

$0$$1$

f=(m,n=0,R=m[n])=>R?f(m,n+1)&R[m.map((r,y)=>y<n&&R.map((v,x)=>r[x]-=v*r[n]/R[n])),n]>0:1

在线尝试！