Questions tagged «incompleteness»

我一直模糊地认为，对上述问题的回答在以下几方面是肯定的。哥德尔的不完备性定理和停止问题的不可判定性都是关于可判定性的负面结果，并由对角线论证（以及在1930年代）确立，因此它们在某种程度上必须是两种方式来审视同一件事。而且我以为图灵使用了通用的图灵机来表明停止问题是无法解决的。（另请参阅此math.SE问题。） 但是，现在（在学习可计算性课程方面）我更加仔细地研究了这些问题，我对发现的结果感到困惑。因此，我需要一些帮助以理顺我的想法。我意识到，一方面，哥德尔的对角线论点非常微妙：构建一个算术语句需要很多工作，该算术语句可以解释为说出它自己的可导性。另一方面，我在这里发现的停止问题的不确定性证明非常简单，甚至没有明确提到图灵机，更不用说通用图灵机了。 关于通用图灵机的一个实际问题是，通用图灵机的字母与它所模拟的图灵机的字母相同是否重要？我认为这是必要的，以便编造适当的对角线参数（让机器自己模拟），但是我在网上发现的关于通用机器的令人困惑的描述集中，并没有发现对此问题的任何关注。如果不是因为停顿问题，通用的图灵机在任何对角线论点中都有用吗？ 最后，我对这进一步的部分感到困惑同一篇WP文章的另一篇文章说，哥德尔不完整的一种较弱形式来自于停顿问题：“无法实现所有关于自然数的陈述的完整，一致和合理的公理化”，其中“声音”应被削弱。我知道，如果一个理论不能得出矛盾，那么该理论是一致的，关于自然数的完整理论似乎意味着可以从中得出关于自然数的所有真实陈述。我知道哥德尔说这样的理论不存在，但是我看不到这样一个假设的野兽怎么可能听起来不对劲，即，也得出对自然数是错误的陈述：否定这样的陈述是正确的，因此从完整性上也可以导出，这会与一致性相矛盾。 我希望您能对其中之一进行澄清。

75 computability  logic  halting-problem  incompleteness 

我最近在考虑矛盾证明的有效性。在过去的几天里，我已经阅读了有关直觉逻辑和戈德尔定理的东西，看它们是否能为我提供我的问题的答案。现在，我仍然有一些疑问仍在徘徊（也许与我阅读的新材料有关），希望能得到一些答案 （警告：您将要开始阅读具有非常混乱的逻辑基础的内容，带着一丁点的知识来接受所有内容，它应该是一个问题而不是一个答案，其中存在许多误解）。 我认为我的主要问题是，一旦我们证明不是A会导致某些矛盾，因此不是A必须为假，那么我们就得出结论，A必须为真。这部分是有道理的（特别是如果我接受排除中间法则是有意义的话），但令我困扰的是那种如何通过矛盾进行证明。首先，我们不以A开头，然后仅应用公理和推理规则（以机械方式说），然后看看将我们带到何处。它通常会产生矛盾（比如说A是正确的，或者和是正确的）。我们得出结论，不是A必须为假，所以A为真。没关系。但是我的问题是，正式系统具有什么样的保证φ¬ φ¬φ\neg \varphiϕϕ\phi如果我使用相同的过程但从A开始，那我也不会在这里遇到矛盾吗？我认为，有一些隐含的假设正在通过矛盾进行证明，即如果类似地在A人中执行相同的流程也不会产生矛盾，那么我们将获得什么样的保证呢？有没有证明是不可能的？换句话说，如果我的车床（TM）（或超级TM）永远消失了，它从假定的真实语句A开始尝试了所有公理的所有逻辑步骤一种一种A，那么这保证了它不会由于发现矛盾而停止运行？ 然后，我用戈德尔的不完全性定理对我过去的问题进行了一些联系，该定理是这样的： 表达算术的形式系统F不能证明其自身的一致性（在F内）。 基本上，这使我很清楚，如果那是真的，那么保持一致性（即保证A而不是A不会发生）是不可能的。因此，似乎矛盾证明只是隐含地假设一致性得到了保证（否则，为什么它会继续前进并通过证明A成立，如果它还不知道一致性的话就不可能证明A是正确的）。和矛盾在哪里好，对于任何一对陈述A而不是A）？这是不正确的还是我错过了什么？ 然后我想，好吧，让我们在公理中加入排除中间的规则，然后解决所有问题。但是后来我意识到，等一下，我们只是在定义问题而不是解决问题。如果我只是强行定义我的系统是一致的，那并不一定意味着它实际上是一致的……对吗？我只是想弄清楚这些想法，但我不确定该怎么做，但这是我在几天后从几乎所有这些概念，矛盾，排他的中间，直觉主义逻辑，戈德尔的完备性和不完备性定理… 与此相关的是，如果没有排除中间（或矛盾）的规则，似乎实际上不可能直接直接证明某件事是假的。证明系统似乎擅长证明真实的陈述，但据我所知，它无法直接表明事物是错误的。也许他们做事的方式更间接地与矛盾（当他们表明某事一定是虚假的或坏事发生）或排除在中间（在其中仅知道一个A的真实价值或我们知道另一个A的真实价值）时，提供反例（基本上表明相反的说法是正确的，因此间接使用排除中间律）。我想也许我真的想要一个有建设性的证据，证明什么是假的？ 我想，如果我能知道如果我证明A不是错误的话（例如我接受矛盾），那的确可以，并且我不需要对A无限地应用所有推理规则和公理，并且可以保证A赢了没有矛盾。如果那是真的，那么我想我可以更容易接受矛盾证明。这是真的，还是哥德尔的第二次残缺保证我不能拥有这个？如果我不能做到这一点，那么令我困惑的是，这么多年的数学家甚至没有发现不一致的地方，怎么可能做数学呢？我需要依靠一致性的经验证据吗？或者例如，我通过证明superF证明F来证明F是一致的，但是由于我实际上从不需要superF而仅需要F，那么我不能满足于真正起作用吗？ 我只是注意到，我的投诉也涉及到直接证据。好吧，如果我做了A的直接证明，那么我知道A是正确的……但是我怎么知道如果我做了非A的直接证明，那么我也不会得到正确的证明？似乎同一问题的重点稍有不同。

19 logic  first-order-logic  propositional-logic  incompleteness 

我正在阅读以下问题：一致性和完整性暗示着健全性吗？里面的第一句话说： 我了解健全性意味着一致性。 这让我感到很困惑，因为我认为稳健性比一致性弱得多（即我认为一致性系统必须健全，但我猜这不是真的）。我在MIT的6.045 / 18.400课程中使用Scott Aaronson的非正式定义来保持一致性和健全性： 健全性=如果证明系统证明的所有陈述实际上都是真实的（可证明的一切都是真实的），则证明系统是正确的。即IF（ϕϕ\phi是可证明的）⟹⟹\implies（ϕϕ\phi为True）。因此，如果IF（有一个通往公式的路径）然后（该公式为True） 一致性=一致的系统永远不会证明A和NOT（A）。因此，只有一个A或它的取反可以为True。 考虑到这些（可能是非正式的）定义，我构造了以下示例，以说明存在一个健全但不一致的系统： CharlieSystem≜{Axioms={A,¬A},InferenceRules={NOT(⋅)}}CharlieSystem≜{Axioms={A,¬A},InferenceRules={NOT(⋅)}} CharlieSystem \triangleq \{ Axioms=\{A, \neg A \}, InferenceRules=\{NOT(\cdot) \} \} 我认为这是一个声音系统的原因是因为根据假设，该公理是正确的。因此，A和A都不成立（是的，我知道不包括排除中间定律）。因为唯一的推论规则是否定，所以我们可以从公理到达A而不是A并互相到达。因此，我们仅针对该系统得出True陈述。但是，系统当然并不一致，因为我们可以证明系统中唯一语句的取反。因此，我证明了声音系统可能不一致。为什么这个例子不正确？我做错什么了？ 在我看来，这在直觉上是有道理的，因为稳健性只是说，一旦我们从推理开始并且公理并推论推理规则，我们只会到达目标为True的目的地（即语句）。但是，它并不能真正说明我们到达哪个目的地。但是，一致性表示我们只能到达达到或（两者都不都是）的目标。因此，每个一致的系统都必须将排除中律定律作为一个公理，我当然没有这样做，然后仅将唯一公理的否定作为唯一其他公理。因此，我感觉自己做的事情并不聪明，但是某种程度上出了什么问题？¬ 一个AAA¬A¬A\neg A 我只是意识到这可能是一个问题，因为我使用的是Scott的非正式定义。甚至在我写问题之前，我都检查过维基百科，但对我来说它们的定义没有意义。他们特别说的是： 关于系统的语义 他们的完整报价是： 就系统的语义而言，系统中可以证明的每个公式在逻辑上都是有效的。

12 terminology  logic  first-order-logic  propositional-logic  incompleteness