最小无弦奇数循环图完成度：NP难吗？

我的研究最近出现了以下有趣的问题：

实例：图。 $G(V, E)$

解决方案：无弦奇数循环完成，定义为边集的超集，这样完成的图形具有以下特性：中的每个边都包含在无弦奇数循环中。 $E'$ $E$ $G'(V, E')$ $G'$

度量：完成的大小，即。 $|E' - E|$

到目前为止，我们已经能够证明该问题的修改版本是NP完全的，在此，我们要求“包含所有边缘”的更强属性，而不是要求“每个边缘都包含在无弦奇数循环中”以三角形（长度为3的循环）”。（请注意，这与MINIMUM CHORDAL GRAPH COMPLETION问题无关。） $G'$

很容易看出前者是后者的概括，但是到目前为止，我为证明它所做的所有努力都失败了。谁能提出一个指针/引用/等等？

— 加伯·雷特瓦里（Gabor Retvari）
source

如果存在奇数（反）孔（无弦奇数循环，至少长度为5），则该问题似乎与理想图密切相关。因此建议您尝试根据理想图形上的问题来重新定义问题。

— vzn2012年

@vzn：我不确定这个强定理在这里是否有帮助。

— domotorp 2012年

我们可以在P中确定G的每个边是否包含在无弦奇数周期中吗？我想这是可能的，但我不知道如何。

— domotorp 2012年

好吧，我们现在有两个问题。容易地，如果我们可以为每个边缘确定它是否处于无弦奇数循环中，我们将在P中做出决定。我找到了一个参考文献，指出了以下问题：“图形是否包含经过指定顶点的，长度大于3的诱导奇数循环？” 和“图是否包含两个指定顶点之间的诱导奇数路径？” 是NP完整的，但是这些不能完全解决我们的问题。可能原来的问题不在NP中，但仍然可能是NP难题。

— Gabor Retvari

您能否指出您在论文的哪个部分定义了上面的问题以及您在论文中引用的规范。至（“经验证的NP版本已完成修改”）

— vzn 2012年

通过证明以下问题，我们证明了该问题即使在其决策形式上也很难解决，即“输入图已经是无弦奇数循环完成？”： $G$

问题P：给定一个图和边缘，是否有长度大的chordless奇数周期超过3穿过 $G$ $e\in E(G)$ $e$ ？

通过减少您的评论之一给出的参考文献中的“检测经过给定节点的无弦偶数循环”，已知该问题是NP难题的，这在第3节之前的段落中通过让和 $p=0$ $q=2$ ：

顺便说一句，让和是任意固定整数。以下问题是NP完全的：图是否包含经过长度为（mod ）的预定顶点的诱导周期？... $q>1$ $p\ge 0$ $G$ $u$ $p$ $q$

（可能会有一个Karp缩减，但是如果我们允许一个Cook缩减，请考虑以下缩减：将给定的度d节点替换为大小为d的完整子图，并带有适当的输出边。然后对于完整图中的每个边，我们可以查询解决问题P的预言。请注意，通过给定节点的无弦偶数周期对应于长度大于3的无弦奇数周期，该奇数周期通过完整图中的一条边。）

现在主要减少。给定问题P的实例，首先我们检测是否有任何三角形通过；如果是这样，请删除与组成三角形的每个节点。请注意，删除与形成三角形的节点不会删除任何通过弦奇数周期 $e$ $e$ $e$ $e$ （通过chordless属性）。

接下来，对于除以外的每个边我们添加一个辅助节点以及两个边和。观察到新图具有以下属性： $f$ $e=(u,v)$ $v_f$ $(v_f,u)$ $(v_f,v)$ $G'$

具有长度大的比3 chordless奇数周期通过使当且仅当是一个chordless奇数周期完成。 $G$ $e$ $G'$

对于唯一的方向，可以通过考虑不同类型的边来证明。除以外的所有边缘（包括那些新添加的边缘）将至少处于一个三角形（包含辅助节点的三角形）中；和将会在一个chordless奇数周期，因为存在通过传递chordless奇数周期在 $G'$ $e$ $e$ $G′$ $e$ $G$ ，并在节点删除处理不被去除该循环。

对于if方向，由于除以外的每个边缘都必须至少在一个三角形中，因此我们只需要担心边缘。在有一个无弦的奇数循环通过（是无弦的奇数循环完成）。通过构造，循环不能具有长度3 ，并且由于循环不能包含任何辅助节点（通过无弦特性），因此它也将在图形中。因此，证明是完整的。 $e$ $e$ $e$ $G'$ $G'$ $G'$ $G$

— 张显之张显之
source

我在减少任何一个方面都遇到麻烦。在第一个归约中，如果给定节点v的阶数为5，则归约后它变为K_5，并且该K_5包含奇数长度的循环，但不对应于包含v的偶数长度的循环。主要的简化是假设G =（V，E），其中V = {1,2,3,4,5}，E = {12,23,34,45,15,35}，e = 34。G有一个长度为5的循环，该循环通过e，但是在G'中，如果我正确理解了归约的定义，则边34是一个桥，不属于任何奇数循环。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

e

$e$

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

@ Hsien-ChihChang张显之：无论如何：由于赏金即将过期，我将离开我的电脑，所以现在向您奖励这个价格。非常感谢您的回答，它确实帮助我以新的方式思考问题。如果您以后可以回来解决以上问题，我将不胜感激。

— Gabor Retvari

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

G^{'}

$G'$

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

e

$e$

G

$G$

— 张显之张显之