计数双斜度的参数化复杂度

在上一个问题中，用于找到Bicliques的参数化算法中，我询问是否存在用于找到目标的快速参数化算法。$k\times k$-biclique在 $n$ 顶点图，并得知它是开放的，如果是FPT wrt $k$。对于同一真正的计数的$k\times k$-bicliques，还是已知这是＃$W\[1\]$-硬WRT $k$ （或其他一些硬度概念）？

我知道数数诱导 $k\times k$-bicliques是＃$W\[1\]$-难，在Serge Gaspers 论文的第4.5节中扩展了一个简单的简化来找到诱发的双斜度。

通过标准插值参数，该参数应为#W [1] -hard。这是一个粗略的草图。

首先，考虑biclique问题的彩色版本：给定一个图，其顶点集被划分为类 $X_1,\dots, X_{2k}$，从每个集合中找出一个恰好包含一个顶点的双斜线。与Biclique（其FPT状态为开放状态）不同，此彩色版本被称为W [1] -hard：很容易从集团中还原。我相信它也应该是#W [1] -hard。

给定图 $G$ 和分区如上，让我们获得一个新图 $G'$ 通过替换每个顶点 $X_i$ 具有独立的尺寸 $x_i$ （并替换 $X_i$ 和 $X_j$ 由一个 $x_i\times x_j$biclique）。现在的数量$k\times k$ 在 $G'$ 是功能的 $2k$ 变数 $x_1,\dots,x_{2k}$。实际上，可以看到该函数最多是度的多项式$2k$ 和项的系数 $x_1\cdot\dots\cdot x_{2k}$ 恰好是 $G$。因此，通过将足够多的值组合替换为变量$x_i$ 并计算中的双斜脚的数量 $G'$，我们可以在足够多的地方评估该多项式，以通过插值恢复其系数。