单一组优化的复杂性

在the群上优化各种函数的计算复杂度是多少？ $\mathcal{U}(n)$

量子信息理论中经常出现的典型任务是，在所有unit矩阵上最大化（或高阶多项式）类型的数量。这种类型的优化是否可以有效（也许近似）地计算，或者是NP难的？（也许这是众所周知的，但我一直找不到任何一般参考） $\mathrm{Tr}AUBU^{\dagger}$ $U$ $U$

— 马辛·科托夫斯基（Marcin Kotowski）
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您可以将“各种函数”限制为“一元多项式”吗？

— Artem Kaznatcheev

我对这些问题是如何产生的了解不多，但是这个问题的自然经典模拟是什么？您知道这个问题的复杂性吗？

— 罗宾·科塔里

罗杰·布罗克特（Roger Brockett）于1991年发表了一篇非常不错的论文，该论文展示了如何以您描述的形式，但通过正交矩阵表达排序和线性编程。虽然没有提及复杂性，但是可以用相同的方式表达两个非常不同的问题，这意味着您需要了解一些有关问题结构的知识才能确定复杂性：eecs.berkeley.edu/~sburden/research/ jonathan / Brockett1991.pdf

— Suresh Venkat 2012年

@Artem：是的，我认为实际上低阶多项式最相关。

— Marcin Kotowski

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

U

$U$

U B U^{†}

$U B U^\dagger$

A

$A$

A

$A$

B

$B$

— Niel de Beaudrap 2012年

Answers:

不好意思我迟到了！在量子计算理论中，there单元上有许多优化问题的例子，令人惊讶的是（至少对我来说），可以通过简化为半定规划在（经典）多项式时间内求解。

这是一个早期的例子：从2000年开始解决我的一个问题，2003年Barnum，Saks和Szegedy证明了Q（f），即布尔函数f：{0,1}的量子查询复杂度ⁿ →{0,1 }，可以用2 ^n的时间多项式计算（即f的真值表的大小）。我曾考虑过这一点，但看不到该怎么做，因为一个人需要在所有可能的量子查询算法上优化成功概率，每个算法都有自己的一组（可能是2 ^n个大小）unit矩阵。Barnum等。通过利用unit矩阵与正半定矩阵之间的“对偶”将其简化为SDP，即所谓的Choi-Jamiolkowski同构。有关表征Q（f）的更新且更简单的SDP，请参阅Reichardt的2010年论文，该论文显示负权重对手方法是最佳的。

利用这一技巧的另一个重要案例是在量子交互证明系统中。尽管从直观上看并不明显，但在2000年 Kitaev和Watrous证明了QIP⊆EXP。通过减少对3轮量子交互式证明系统中出现的指数大小的unit矩阵进行优化的问题，从而解决单指数大小的SDP（我再次认为，使用混合态与混合态之间的Choi-Jamiolkowski同构ary矩阵）。最近的QIP = PSPACE突破来自表明在NC中（即通过对数深度电路）可以更好地解决特定的SDP问题。

因此，无论您涉及单一组的特定优化问题如何，我的猜测都是可以比您想象的更快地解决它-如果不是以某些甚至更简单的方式，则可以简化为SDP！

— 斯科特·亚伦森
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亲爱的斯科特！Barnum，Saks和Szegedy没有明确提及Choi-Jamiolkowski同构，并且我不明白这与它们的构造有何关系。您能详细说明一下吗？我问是因为我试图了解是否有可能针对错误的甲骨文提供类似的结果。

— Joris

-3

确定两个Hadamard矩阵是否等价是图同构（GI）完全问题。布伦登·麦凯（Brendon McKay）对此主题发表了一篇论文。参见BD McKay，通过图同构的Hadamard等价，Discrete Mathematics，27（1979）213-216。

— 杜尔松
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