P是否包含其存在独立于PA或ZFC的语言？（TCS社区Wiki）

答：不知道。

提出的问题是自然的，开放的，而且显然很困难。现在的问题是社区Wiki。

总览

该问题旨在将属于复杂性类  语言以及接受这些语言的决策图灵机（TM）划分为两个互补的子类：$P$

• 精明的语言和TM（可用于验证/理解），而不是
• 加密语言和TM（无法验证/理解）。

定义：不可知与隐秘的数字，TM和语言

在PA和ZFC公理框架内，我们将gnostic与神秘的Turing机器和语言区分开来，如下所示：

D0   我们说一个可计算的实数 是诺斯替当且仅当它关联到一个非空集TM的，用PA指定为包括在通用TM有效的代码号的明确列表中的每个TM，使得对任意精度作为输入提供的，每个TM可证明的（在ZFC中）停止，其输出编号可证明（在ZFC中）满足。$r$$\epsilon\gt0$$o$$r-\epsilon\lt o\lt r+\epsilon$

备注   众所周知，某些可计算的实数不是不可知的（有关具体示例，请参见Raphael Reitzig对jkff问题“ 是否存在非构造算法存在证明？ ” 的回答）。为了避免与这些可计算但笨拙的数字发生争执，施加了以下限制：运行时指数可由PA中显式枚举的TM进行计算（与ZFC中隐式指定的TM相比）。有关进一步的讨论，请参见下面的定义注意事项部分。

现在，我们寻求定义，以了解直觉，即复杂性类包含了一个隐含语言的子集，没有（可证明的）运行时指数下界可以被赋予。 $P$

为了向前看，最后的定义（D5）指定了规范的密码决策TM的概念，其定义旨在消除通过重叠计算多余的Epi计算来（通常）掩盖密码计算的简化。稍后将在“ 定义性注意事项 ”标题下讨论此关键定义的原理和来源 ，并感激Timothy Chow，Peter Shor，Sasho Nikolov和Luca Trevisan所做的评论。

D1   给定图灵机M停止所有输入字符串，则M被称为隐式的，前提是以下语句对于至少一个不可知实数既不可证明也不可辩驳  ：$r \ge 0$

声明： M的运行时间相对于输入长度为${O}(n^r)$$n$

我们所说的非图灵机是不可知的TM。

D2   我们说决策图灵机M是有效的，因为它具有不可知的运行时间指数 这样M接受的语言L不会被不可知的运行时间指数小于其他TM接受  。$r$$r$

D3   我们说一种语言L是一种隐喻，前提是它被（a）  至少一个图灵机M既有效又隐秘，并且（b）  没有一种既有效又不可知的TM可以接受地接受L。

为了用另一种方式表达D3，一种语言是含糊的，因为最有效地接受该语言的TM本身就是含糊的。

我们所说的不是神秘的语言是不可知论的语言。

D4   我们说一个隐秘的TM是高度隐秘的，因为它接受的语言是隐秘的。

D5   我们说强密码性TM是有效的标准密码性。

为了用另一种方式表达D5，每种规范语言都被一组规范的隐秘决策TM所接受，这是接受该语言的最有效的决策TM。

问的问题

以下猜想C0是自然的，并且（显然）是开放的：

C0   复杂度等级P至少包含一种加密语言。

提出三个问题，Q1 - Q3，第一个是：

Q1   是在C0猜想独立PA或ZFC的？

在C0为真的假设下-在ZFC中证明是正确的，或者作为ZFC的补充独立公理-还有两个自然的问题是很自然的：

Q2是否   可以具体表示P中的至少一种隐喻语言，即以有限字母的显式单词词典形式显示，该单词包含不超过指定长度的所有单词？如果是这样，请展示这样的字典。

Q3是否   可以具体提出至少一个规范的密码决策TM，即作为构建物理Turing机的可行描述，该Turing机（在多项式时间内）确定Q2词典的所有单词？如果是这样，则构造这样的图灵机并通过对其进行计算，展示出Q2的隐秘语言字典。

定义注意事项

定义D0表示每个可疑实数都是可计算的，但是已知某些可计算实数不是不可知的。举例来说，看到的答案MathOverflow由迈克尔Cadilhac和瑞安·威廉姆斯和TCS StackExchange由拉斐尔Reitzig。更一般而言，定义D0–D5的目的是排除对非逻辑运行时指数的引用。

正如在TCS Wiki“ P是否包含不可理解的语言？ ”中所讨论的那样，定义D0–D5确保每种隐秘语言至少被一种典型隐秘的TM所接受。（还请注意，在本问题中，“神秘”一词取代了Wiki中使用的描述性较差的单词“难以理解”）。

此外，鉴于D3（a）和D3（b）  ，在计算上不存在将规范的隐含TM简化为可证明识别相同语言的gnostic TM的问题。特别是，D3（a）和D3（b）阻碍了Peter Shor，Sasho Nikolov和独立地由Luca Trevisan在评论中概述的多限幅减少策略，并且也阻碍了Timothy Chow的多项式归约减少策略，所有其中相似地通过覆盖计算上多余的Epi计算来掩盖密码计算。

通常，“精明的”和“神秘的”的定义是经过精心调整的，以使其在数学上的微不足道的减少方面具有鲁棒性（而且完全可能需要进一步调整这些定义）。

方法上的考虑

兰斯·福特诺（Lance Fortnow）的评论“ P与NP问题的状况”探讨了在复杂性理论中建立猜想独立性（或其他方式）的方法；特别需要有关Lance评论的方法如何帮助（或不帮助）回答Q1的建议。

显然，还有许多其他问题是自然的。例如，Hartmanis-Stearns猜想激发我们问：“是否存在秘密的实时多带Turing图灵机？它们的存在（或不存在）与PA或ZFC无关吗？”

Zeilberger类型的注意事项

如果Q1回答“是”，则决定隶属关系的预言就存在于PA或ZFC之外，因此，目前不知道现代复杂性理论的基本要素是否存在于任何正式的系统中。逻辑。 $P$

在这方面，复杂性理论与大多数数学学科截然不同，因此多伦·齐尔伯格（Doron Zeilberger）在他最近的“ 意见125：现在的艾伦·图灵（Alan Turing）诞辰100岁 ”中表达的忧虑是时候重新审视他的开创性贡献了。 ，这带来了很多好处，但也带来了很多危害 ”，可以说是有充分根据的。

Zeilberger的担忧采取明确的形式为准绳Z0    （！Q1  ）&&（！C0  ），这相当于下列标准：$\equiv$

Z0：  Zeilberger的敏感度标准如果P中的所有语言  都是可知的   ，则将复杂度类P的定义称为Zeilberger敏感。

目前尚不知道斯蒂芬·库克对复杂度等级P的定义是否适用于   Zeilberger。

动机上的考虑

精心设计“ gnostic”和“ cryptic”是为了（最终）确定如下猜想：

C1   令和N P '为P和N P的诊断限制。那么在PA或ZFC中P ′ ≠ N P ′是可证明的或可辩证的。$P'$$NP'$$P$$NP$$P' \ne NP'$

C2   （如在PA或ZFC中明确证明的）$P' \ne NP'$

显然，C2   C1，相反，可以想到，（元）定理C1的证明可以为（更强）定理C2的证明提供指导。$\to$ 

总体动机是期望/直觉/希望，对于精明的和隐秘的TM和语言之间的某种微妙的区分，C1甚至C2的证明可能会启发甚至可能具有可比的实际含义，这可能更难，更深入证明了。 $P\ne NP$

Juris Hartmanis是最早认真研究这一研究思路的复杂性理论家之一。例如，参见Hartmanis的专着《可行的计算和可证明的复杂性》（1978年）。

命名上的考虑

在牛津英语词典（OED）中，我们有：

• 诺斯替教（形容词）  有关知识; 认知 知识分子   “他们（数字）以一种至关重要的，不可思议的和投机的方式存在，但没有以可操作的方式存在。”

• 隐蔽（ADJ）  不立即理解的; 神秘而神秘的   “他们（而不是对人类有用的简单规则，他们（哲学家）掩盖了断断续续和黑暗的句子”。

显然，没有任何《数学评论》以前使用过“ gnostic”一词。但是，引起人们注意的是Marcus Kracht最近的文章“ Gnosis ”（《哲学逻辑杂志》，MR2802332），该文章使用了OED感觉。

显然，没有任何《数学评论》在技术上使用“神秘”一词来表示复杂性理论。但是，请注意Charles H. Bennett的文章“ 逻辑深度和物理复杂性 ”（在通用图灵机：半个世纪的调查，1988年），其中包含以下内容：

与对象相关的另一种复杂性是在给定对象的情况下，很难找到一个合理的假设来解释它。具有这种复杂性的对象可能被称为“加密的”：找到对象的合理来源就像解决密码。

自然，开放和困难的考虑

这些问题的自然性说明了Juris Hartmanis的专着《可行的计算和可证明的复杂性》（1978）的论点：

“如果我们只考虑可以正式证明的计算属性，那么关于算法复杂性的结果就会发生根本性的变化。”

这些问题的公开性和难度在很大程度上与Lance Fortnow的评论“ P对NP问题的现状 ”（2009年）的结论一致：

“我们没人真正了解P与NP问题，我们才刚刚开始解决这个日益复杂的问题。”

维基指南

特别寻求的是与问题Q1-Q3相关的定义调整和证明策略，并广泛地阐明了Hartmanis型猜想C1-C2。

我认为您在这里提出的问题（以及您在有关不可理解语言的相关问题中提出的问题）存在一个根本的根本困难。

粗略地说，看来你正在寻找一种语言，使得$L$

，但ZFC不知道大号∈ P。$L\in P$$L\in P$

要理解您的问题所遇到的困难，我想您首先必须意识到，语言L的内涵和延伸定义之间存在根本差异。从广义上讲，L由哪些词是L的成员或不是L的成员确定。也就是说，当且仅当两种语言L和L '包含与成员完全相同的词时，它们在扩展上相等。相反，L的内涵定义描述了单词在L中的一些条件。接受L的图灵机$L$$L$$L$$L$$L'$$L$$L$$L$或一阶式，其保持当且仅当X ∈ 大号，可以被认为是一个描述法大号。$\phi(x)$$x\in L$$L$

关键是，（在扩展中）P中的每个都承认描述非常简单，因为P是所谓的“句法”复杂度类。即，仅需使用一台具有多项式时钟的图灵机，该机将恰好终止所需的时间。做数学，如PA或ZFC，任何“合理”的系统将能够证明大号∈ P，如果你使用的这个简单的描述大号。$L$$P$$P$$L\in P$$L$

因此，如果您想混淆ZFC，您将不得不提出一些（内涵）描述，对于ZFC来说，它“太复杂了”，无法识别为等同于L的简单描述。这是可行的，但从某种意义上讲，太容易变得有趣了。您要做的只是采取一些我们知道ZFC无法理解的内容（例如，其自身的一致性），并以某种方式将其与L的定义混合在一起。例如，这是一组整数的描述：$L$$L$$L$

是偶数，并且 x没有编码ZFC不一致的证明。$x$$x$

假设ZFC是一致的，则上面的公式定义了偶数整数集，但是ZFC不知道。稍加修改，我们可以轻松地获得ZFC无法证明在的偶数整数的描述。$P$

其结果是，如果你希望它是很难的理由来证明是有在语言P “过于复杂”为我们推理，那么我认为你是找错了树。外延上，在每一种语言P是P为了微不足道的原因。您可以通过在P语言中使用不太可能的不透明描述来弄混，但这是一个与P无关的通用技巧，因此我认为它不会产生太多见识。$P\ne NP$$P$$P$$P$$P$$P$

Q1： $\:$没有
Q2：$\:$ 是的，二进制中至少两个1s

引理： $\:$ 具有可计算的运行时指数至少为1的每个TM都是超验的。

证明：
令A和B为递归不可分的集合。$\:$令为枚举A的图灵机。$M_0$$\:$令为枚举B的图灵机。$M_1$$\;\;$对于任何图灵机与可计算运行指数R，当定义为[如果M 0完全按s步接受m，则r +（1 / t），如果M 1完全按s步接受m，则r-（1 / t），否则r]，则每个r m不为-负数和可计算的，并且总是具有[如果$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$M_0$$M_1$$r_m$$\:m\in A\:$ 那么D1的陈述为真]和[如果 $\:m\in B\:$ 则D1的陈述为假]。 $\;\;$对于任何图灵机与可计算运行指数R，当的定义如上，因为A和B是递归不可分割的，所以对于至少一个m，D1的r m陈述既不可证明也不可辩驳。$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$r_m$$\:$因此，图灵机是超验的。


定义：
至少有两个1s-in-binary是一组非负整数，其二进制
表示形式至少具有两个1。$\:$ （赌注你永远不会猜到^ _ ^）

定义：
M是图灵机，它扫描
其输入的二进制表示形式 ，接受是否发现至少两个1，否则拒绝。

显然，M决定二进制中的至少两个1s，并且具有运行时间指数1，并且没有其他具有较小运行时指数的Turing机器也确定二进制中的至少两个1s。
琐碎地$\: 1\leq 1 \:$和是可计算。$1$$\;\;$通过引理，M是高效且超验的。
这些意味着二进制中至少两个1s也是先验的。

因此，TPCCC是PA（和ZFC）的一个定理，而
二进制中至少两个1s是一种具体的先验语言。

$x_n := 2 + \sum_{i=0}^n [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$$n$$x_n$$x_n$$x := 2 + \sum_{i=0}^\infty [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$

$x$$\bf{ZF}$

$x > 1$$M'_x$$n$$N$$s$$N$$s$$|s|^x/\log(|s|)$$x$$M_x$$M'_x$$M_x$$M_x$$\mathcal O(|s|^y)$$y\ge x$$M_x$

$x$$M_x$$\mathcal O(|s|^2)$$x = 2$$\bf{ZF}$$\bf ZF$$\bf ZF$$M_x$$\bf ZF + Con(\bf ZF)$.

However, $\bf ZF + \not Con(\bf ZF)$ proves that all languages in $\bf P$ are gnostic, since it proves that $\bf ZF$ proves that every language has runtime $\mathcal O(|s|^z)$ for every $z$. So it is undecidable in $\bf ZF$ whether any cryptic language exists.

To answer your second and third questions, the definition I gave above for $M_x$ is quite concrete; I don't think a full Turing machine description would be very illuminating. I suppose I could give a pseudo-code description of the program, though.