电路下限和kolmogorov复杂度

请考虑以下原因：

令表示字符串的Kolmogorov复杂度。柴廷不完备定理说 $K(x)$ $x$

对于任何一致的和足够强大的正式制度，存在一个常数（仅正式制度和语言上的依赖），使得对任意字符串，不能证明。 $S$ $T$ $x$ $S$ $K(x) \geq T$

令为变量的布尔函数，其频谱的Kolmogorov复杂度最大为。让是电路复杂，即最小的电路计算的大小。 $f_n$ $n$ $k$ $S(f_n)$ $f_n$ $f_n$

A（粗糙）上的上界是对于恒定和是一个忙海狸函数（最大可能的步骤的停止描述尺寸为图灵机可以执行。（对于频谱中的每，构造对应的真值分配的最小项，并将所有这些最小项的OR求和。） $S(f_n)$

S (f_{n}) \leq c \cdot B B (k) \cdot n

$S(f_n)\leq c\cdot BB(k) \cdot n$

c

$c$

B B (k)

$BB(k)$

k

$k$

1

$1$

现在假设对于布尔函数的无穷系列，我们有形式证明需要超线性尺寸电路，即 $L = \{f_n\}_{n}$ $L$

S ⊢ \forall n \geq n_{0}, g (n) \cdot n \leq S (f_{n})

$S \vdash \forall n \geq n_0, \ g(n)\cdot n \leq S(f_n)$ 其中。

g (n) \in ω (1)

$g(n)\in \omega(1)$

如果我们使足够大，我们将有 $n$

g (n) > c \cdot B B (T)

$g(n) > c\cdot BB(T)$

特别地，这将证明频谱的Kolmogorov复杂度至少为，这是不可能的。 $f_n$ $T$

这导致两个问题：

1）上述推理中应该有问题。主要是因为这将使形式上无法证明超线性电路的下限成为现实。

2）您是否知道类似的方法来显示下界的障碍，即表明某些（电路）下界在形式上是无法证明的？

— 马格努斯寻找
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有趣的想法。在某种程度上与razborov / rudich证明有关的“自然证明”确实勾勒出了P =？NP的障碍（但也可能适用于本文中作为示例列出的其他复杂性类别分离）..您读过这篇文章吗？另请参阅壁垒P =ΔNP和壁垒/单调电路复杂度。似乎暗示着复杂度类别的分离在结构上与不可证明性证明相似。

— vzn

您能详细说明f_n的“频谱”吗？有没有一种方法可以在不提及“频谱”的情况下表达问题？

— vzn 2012年

可能确实可以通过研究最小的TM [从状态表/状态的意义上]计算函数来研究函数的复杂性，并且这将大致匹配电路的下限。如果您可以证明找到最小的TM是不可能的，而不是真的很困难，那么您可能会有东西。但是，通过电路的经典枚举或TM来找到最小的TM是“简单的”。如果您思考此方法为何有效，则可能有助于理解为什么该问题不会导致问题。

— vzn 2012年

对。感谢您的参考。我知道自然证明纸。我不知道这个问题能否在没有“频谱”的情况下提出。我所说的“频谱”是序列

(f (0, 0, . ., 0), f (0, 0, . ., 1), . ., f (1, 1, . ., 1))

$(f(0,0,..,0),f(0,0,..,1),..,f(1,1,..,1))$

— Magnus查找

Answers:

您的论点没有错，但没有矛盾。您证明一些足够大的的频谱的柯尔莫哥洛夫复杂总是至少。但是这句话确实是正确的！尽管我们不能证明一个字符串的Kolmogorov复杂度很大，但是如果我们有一个序列，那么从某个角度来看，它必须只包含大复杂度的字符串。那么，什么是这个，你得到了什么？它必须满足，这是我们不能计算的数字（由于），所以根本没有问题。 $N$ $f_n$ $T$ $N$ $N>g^{-1}(c \cdot BB(T))$ $BB$

— 多摩普
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谢谢。我陷入了陷阱，相信一个人可以“选择”足够大的N值，但是正如您指出的那样，这在是不可能的，而且正如您还正确指出的那样，对于任何一个增加序列。

S

$S$

— Magnus查找

这是一个甚至更简单的问题情况。令为第一个字符串（按字典顺序），使得；这样的字符串可证明对于所有存在。然后。 $A(k)$ $K(A(k)) \geq k$ $k$ $K(A(k)) \geq k$

罪魁祸首可能是形式系统无法计算。 $BB(T)$

编辑：这是一个“更明确”的问题情况。令为Kolmogorov复杂度最大为的字符串的最大长度；可证明存在。然后。 $\alpha(k)$ $k$ $\alpha(k)$ $K(0^{\alpha(k)+1}) > k$

— Yuval Filmus
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为什么这种情况有问题？您没有给出输出为A（k）并且其长度小于k的程序。

— domotorp

我有同样的困惑的Domotor，但我认为，一个问题OP的理由是一个正式的系统将无法对证明上界足够大。

B B (k)

$BB(k)$

k

$k$

— Sasho Nikolov

在（可以说）与原始问题相同的意义上，这是有问题的。

— Yuval Filmus 2012年

我还是不明白。您不会显示字符串，也不会证明其Kolmogorov复杂性很大。您证明存在一个复杂度很高的字符串。

— Sasho Nikolov

我认为它们以不同的方式存在问题。在我阅读本文时，您指出了一个没有证据的特定真实陈述。正如我在问题中提出的那样，我指出，这需要证明某种不可证明的事物。

— Magnus查找