随机单调函数

在Razborov-Rudich的Natural Proofs论文的第6页中，他们讨论了“针对单调电路模型的强大下界证明”以及它们如何适应图中，其中有以下句子：

在这里问题不是建设性的-这些证明中使用的属性都是可行的-但似乎没有关于宽大条件的良好形式类似物。特别是，没有人对“随机单调函数”制定可行的定义。

将单调函数的输出与随机字符串区别开来难道不是很容易吗？是否存在强大的下限告诉我们没有这样的事情？

我的问题是：

它们对“随机单调函数”的可行定义是什么意思？

我不确定，但是我认为这里的问题是我们对伪随机单调函数生成器没有任何强有力的假设（至少我不知道）。Razborov-Rudich论文中的证明思想如下：

如果存在函数的自然属性（即，对于足够大的函数子集有效的可判定属性，并暗示该函数需要较大的电路），则可以使用它来破坏伪随机函数生成器（也破坏伪随机生成器和一个路功能）。

如果我们要根据单调函数和单调电路来重述该定理，我们想说

如果存在单调函数的自然属性（即，有效的可确定属性，它足以容纳足够大的单调函数子集， 并暗示该函数需要较大的单调 电路），则可以使用它来打破伪随机函数生成器（也打破伪随机函数生成器）发电机和单向功能），

但是现在纸上的证明停止工作了，因为我们的伪随机数生成器输出的是通用函数，不一定是单调函数，并且我们不能使用自然属性来破坏它，因为即使相对较大的单调函数子集也不会相对于一般功能，因为单调函数集本身相对于所有函数集来说并不大（http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_number）。我们可以定义一些伪随机单调函数生成器并使用自然性质来破坏它，但是我们可能没有该生成器和单向函数之间的对等关系，因此该定理就不会那么有趣。

也许可以解决这个困难（但是我认为它并不直接从本文的证明中得出），也许单调函数的问题还存在于其他地方。我真的希望比我更有经验的人确认我的答案或表明我做错了什么。