将立方图边缘划分为爪和路径

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同样是一个边缘分割问题，我的前一个问题引起了我对其复杂性的好奇。

输入：三次曲线图 $G=(V,E)$

问题：是否有一个分区成，使得由每个导出的子图可以是一个爪（即，经常称为星形）或 -path （即）？ $E$ $E_1, E_2, \ldots, E_s$ $E_i$ $K_{1,3}$ $3$ $P_4$

我想我有一天看过一篇论文，证明该问题是NP完全的，但现在找不到了，而且我不记得该结果是否适用于三次图。关于一个相关的问题，我知道将二分图边缘分割为爪是NP完全的（请参见Dyer和Frieze）。是否有人对我描述的问题或相关的问题有参考（即，在另一个图类上存在相同的问题，然后我可以尝试将其简化为三次图）？

— 安东尼·拉巴尔（Anthony Labarre）
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这可以帮助你：边缘分成

和

是

-完成。

K_{3}

$K_3$

K_{1, 3}

$K_{1,3}$

N P

$NP$

— Mohammad Al-Turkistany

土库曼斯坦，您可以在评论中添加参考吗？

— 安东尼·拉巴雷

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安东尼，这里是链接（andrew.cmu.edu/user/jblocki/K-Anonymity.pdf）

— 穆罕默德·Turkistany

啊对。那是我记得的那篇论文，我错误地认为这正是解决了我的问题。好吧，无论如何，谢谢您的提醒，也许我确实可以用它做点什么……

— Anthony Labarre 2010年

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您是否有无法以这种方式分区的三次方图示例？

— David Eppstein 2010年

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这不能解决问题的复杂性，但至少表明该复杂性有可能是不平凡的：这是无法划分为路径和爪的三次方图的示例。

_{（来源：uci.edu）}

在其三个裂片的每个裂片中，任何划分为路径和爪的分区都只能使用七个边缘中的六个。其余六个中央边缘采用爪子的形式，每个边缘被细分，不能分为路径和爪子。

ETA：上面显示的图作为没有完美匹配的三次方图的示例而闻名。但是每个具有完美匹配的立方图都分解为路径（甚至不使用任何爪）。根据柯尼格定理，这包括所有三次二分图，而根据彼得森定理，这包括所有无桥三次图，并在评论中回答了约瑟夫·莫尔科维奇的问题。

证明非常简单：如果M是三次图中的完美匹配，则M的去除会留下2个正则图，即不相交的循环并集。任意定向每个循环，并将M的每个边uv附加到沿u和v跟随其循环方向的循环边。

在另一个方向上，如果存在分解为路径的情况，则存在完美的匹配：每个路径的中间边缘都必须匹配，因为没有两个中间边缘可以共享一个3度顶点。

（免责声明：这个想法可能已经在Carsten Thomassen在GD 2010上的受邀演讲中出现过，该演讲涉及这种图形分解问题。）

（除免责声明外（由Anthony Labarre撰写）：Jünger，Reinelt和Pulleyblank在本文中提出了从完美匹配到分区再到路径的“定向思想”，将其归因于WH Cunningham。

— 大卫·埃普斯坦
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飞机未2连接时，此示例很好。下一步可能是查看平面2连接的图。

— 约瑟夫·莫尔科维奇

感谢您的宝贵意见和这个反例，我可以停止寻找一个;-)

— Anthony Labarre 2010年

您可能会发现有用的是，这些波瓣（阶数为1,3,3,3,3,3的唯一图）可以（代替）用于多图泛化的多图泛化中的边沿循环你的问题。

— 科林·麦奎伦

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~~$k$ $k\geq 3$ $k=3$ $2$ $3$~~

这实际上并不是故事的结局：如果三次方图是二分图的，那么很容易只用爪子就可以划分其边集，方法是选择一组二等分并使其成为一组“爪子中心”。总的问题确实很困难，这可以通过使用CUBIC PLANAR MONOTONE 1-IN-3满足度的降低来证明。所有详细信息均可在arxiv上免费访问。

— 安东尼·拉巴尔（Anthony Labarre）
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也许本文可能会引起人们的兴趣：

Peter Kleinschmidt，正则图的正则分区。加纳。数学。公牛。21（1978），没有。2，177–181。

它处理的图形可以写成长度为3的“ Z路径”的并集。（具体来说，是平面的，3价，3连通的图-三次3多面体。）

— 约瑟夫·马尔科维奇
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