销毁DAG中的所有长路径可能有多昂贵？

我们考虑具有一个源节点$s$和一个目标节点 DAG（有向无环图）$t$；允许连接同一对顶点的平行边。甲$k$ - 切口是一组边，其除去的破坏所有$s$ - $t$路径长于$k$ ; 较短的$s$ - $t$路径以及较长的“内部”路径（不在$s$和之间的路径$t$）都可以生存！

问题： 是否足以从DAG中删除最多约$1/k$的边缘部分，以破坏所有长于k的$s$ - $t$路径？ $k$

也就是说，如果$e(G)$表示在边缘的总数$G$，确实然后每DAG $G$具有$k$ -馏分用至多约边缘？两个例子：$e(G)/k$

1. 如果所有 -路径具有长度，则 -馏分用边缘存在。之所以成立，是因为必须有不相交的切口：仅根据节点与源节点的距离对它们进行分层。 吨> ķ ķ ≤ È （ģ ）/ ķ ķ ķ ģ $s$$t$$> k$$k$$\leq e(G)/k$$k$$k$$G$$s$
2. 如果$G=T_n$是一个传递比赛（一个完整的DAG），则也是一个$k$ -馏分用 边缘存在：修复一个 拓扑顺序对节点，将节点分成 个长度为连续间隔，并删除连接相同间隔节点的所有边；这将破坏所有的 -路径长于。 $\leq k\binom{n/k}{2} \approx e(G)/k$n / k s t $k$$n/k$$s$$t$$k$

备注1：天真的尝试给出一个肯定的答案（我也曾尝试过）将试图表明每个DAG必须具有大约不相交的切口。不幸的是，示例2展示了这种尝试可能会严重失败：通过一个很好的论点，David Eppstein 表明，对于关于，图不能有四个以上的不相交的切口！ ķ ķ $k$ $k$$k$ ŤÑ$\sqrt{n}$$T_n$ $k$

备注2：重要的是，切仅需要破坏所有长的 -路径，而不必破坏所有长路径。即，存在^1个 DAG，其中每个“纯”切口（避免入射到或边）必须包含几乎所有边。所以，我的问题实际上是：是否也可以去除与或入射边的可能性，从而大大减小切割的大小？答案很可能是否定的，但到目前为止我还没有找到反例。 小号吨ķ 小号吨小号吨$k$$s$$t$$k$$s$$t$$s$$t$$k$

动机：我的问题是由证明单调开关和整流器网络的下限引起的。这样的网络只是DAG，其某些边缘由测试标记为“？”。（没有测试）。网络的大小是标记边缘的数量。如果存在一条 -路径，其所有测试均与此向量一致，则可接受输入向量。马尔可夫证明，如果单调布尔函数没有最小项短于且没有最大项短于，则大小 x i = 0 s $x_i=1$$x_i=0$$s$$t$升W¯¯ 升⋅ $f$$l$$w$$l\cdot w$是必要的。对我的问题的肯定回答意味着，如果至少变量必须设置为才能销毁所有长于最小项，则必须有大小约为网络。瓦特ķ 0 $k\cdot w_k$$w_k$$0$$k$

¹ 本文给出了结构。 以一个完全二叉树深度的日志ñ。去除所有边缘。对于每个内部节点，从左子树的每个叶子到绘制一条边，从到右子树的每个叶子画一条边缘。因此，在DAG中，每两片叶子通过长度为的路径连接。DAG本身具有节点和边，但是必须删除边，以便破坏所有路径的时间超过$T$$\log n$v Ť v v Ť v Ť 2 〜Ñ 〜Ñ 登录Ñ Ω （Ñ 登录Ñ ）$v$$v$$T_v$$v$$T_v$$T$$2$$\sim n$$\sim n\log n$$\Omega(n\log n)$。$\sqrt{n}$

[自我回答；这是一个简化的版本，旧的可以在这里找到 ]

我们与Georg Schnitger一起意识到，我的问题的答案是非常否定的：存在DAG（甚至是恒定度），其中每个切口必须具有所有边的恒定部分，而不仅仅是1 / k的部分，例如我的问题。（通过使用上面脚注中提到的更简单的结构，可以获得可能需要1 / log k分数的较弱结果。这里是快速撰写） $k$$1/k$$1/\log k$

即，在 “关于深度减少和炉排”一文中，Georg 在n = m 2 m个节点上构造了具有恒定最大度d的有向无环图序列，其具有以下特性：$H_n$$d$$n=m2^m$

• 在每一恒定有一个恒定ç > 0，使得如果至多的任何子集Ç ñ节点从除去ħ Ñ，剩余的图包含长度的路径中的至少2 ε 米。 $0\leq \epsilon < 1$$c > 0$$cn$$H_n$$2^{\epsilon m}$

采取现在两个新节点和吨，并绘制从边缘小号到的每个节点ħ Ñ，并且从每一个节点的边缘ħ Ñ到吨。所得图G n最多仍具有 2 n + d n = O （n ）个边。$s$$t$$s$$H_n$$H_n$$t$$G_n$$2n+dn=O(n)$

在每一恒定，有一个恒定ç ' > 0，使得如果至多任何子集Ç ' ñ边缘从除去ģ Ñ，剩余的图包含一个小号 - 吨与路径 2 ε 米或更多的边缘。 $0\leq \epsilon < 1$$c ' > 0$$c'n$$G_n$$s$$t$$2^{\epsilon m}$

证明： 称呼为G n的内部节点。至多除去的任意子集Ç ' ñ边缘从ģ Ñ，其中Ç ' = c ^ / 2。之后，如果内部节点入射到已移除的边缘，则将其移除。需要注意的是至多2 ç ' Ñ = Ç Ñ内节点然后取出。入射到幸存节点的边缘均未移除。特别地，每个存活内节点仍连接到两个节点小号和$H_n$ $G_n$$c'n$$G_n$$c'=c/2$$2c'n=cn$$s$$t$。通过上述属性，存在必须保持的长度的路径2 ε 米完全由幸存内节点。由于这些路径的每个端点都可以幸存，因此可以将它们中的每个扩展到G n中的s - t路径。优质教育$H_n$$2^{\epsilon m}$$s$$t$$G_n$

令人遗憾的结果是：即使短长项的集合具有某种“复杂”的结构，对于具有许多短短项的函数，也没有马尔可夫引理的任何类似形式：网络大小的超线性下界无法使用这个“长度乘以宽度”的说法。

PS这种“长度乘以宽度”的论点（当所有 - t路径都足够长时）早于Moore和Shannon（1956）使用。唯一的区别是它们不允许校正（未标记的边缘）。因此，这实际上是“摩尔-香农-马尔可夫论点”。$s$$t$