PPAD是否真的抓住了寻找另一个不平衡顶点的想法？

复杂性类PPAD是Christos Papadimitriou在1994年的开创性论文中发明的。该类旨在捕获搜索问题的复杂性，其中“有向图的奇偶校验参数”可保证解决方案的存在：如果有向图中的顶点不平衡，则必须存在另一个。但是通常，该类别是根据$\mathsf{ANOTHER\ END\ OF\ THE\ LINE}$（$\mathsf{AEOL}$）的问题，其中，该参数仅被施加到与两个IN-图表和outdegrees $\le 1$。我的问题是：为什么这些概念是等效的？

到目前为止，这是该问题的重复。现在，我想正式陈述这个问题，并阐明为什么我对那里的答案不满意。

搜索问题$\mathsf{ANOTHER\ UNBALANCED\ VERTEX}$（$\mathsf{AUV}$）：给定两个多项式大小的电路$S$和$P$即得到$x\in\{0,1\}^n$并返回中的其他元素的多项式列表$\{0,1\}^n$。这些电路定义了有向图$G=(V,E)$其中$V=\{0,1\}^n$和$(x,y)\in E\Leftrightarrow (y\in S(x)\land x\in P(y))$。搜索问题如下：给定的$S$，$P$和$z\in V$使得$indegree(z)\ne outdegree(z)$，查找具有相同属性的另一顶点。

搜索问题$\mathsf{AEOL}$：相同，但是$S$和$P$返回一个空列表或一个元素。

还原性的概念（根据Ricky的建议校正）：总搜索问题$A$还原为总搜索问题$B$经由多项式函数$f$和$g$如果$y$是将溶液$f(x)$中问题$B$意味着$g(x,y)$被解决$x$在问题$A$。

正式的问题：为什么$\mathsf{AUV}$可还原为$\mathsf{AEOL}$？还是我们应该使用另一种还原性概念？

Christos Papadimitriou证明了关于PPA的类似定理（定理1，第505页），但该论点似乎不适用于PPAD。原因是度平衡为的顶点将转换为度平衡为± 1的k个顶点。然后，用于A E O L的算法可以获取这些顶点之一，然后返回另一个顶点。这不会为A U V产生新的顶点。$\pm k$$k$$\pm1$$\mathsf{AEOL}$$\mathsf{AUV}$

事情变得越来越糟，因为在中总是有偶数个不平衡顶点，但是在A U V中可能有奇数个顶点。这就是为什么不能在这两个集合之间建立双射并且g不能总是等于f − 1的原因。如果g （x ，f （x ））≠ x，则至少在某些情况下，我们获得了一种在多项式时间内求解A U V的方法。如果g不取决于x并且$\mathsf{AEOL}$$\mathsf{AUV}$$g$$f^{-1}$$g(x,f(x))\ne x$$\mathsf{AUV}$$g$$x$对于 y 1 ≠ y 2，如果 g （y 1）= g （y 2），则可以返回 y 2作为 y 1的答案。那不会为 A U V提供解决方案。$g(y_1)=g(y_2)$$y_1\ne y_2$$y_2$$y_1$$\mathsf{AUV}$

最后一个问题：以上所列障碍能否以某种方式克服？可以利用对x的可能依赖吗？$g$$x$

该问题已被证明是等效的（因此是PPAD完整的），请参阅Paul W. Goldberg和Alexandros Hollender撰写的《毛球问题是PPAD-完全》中的第8节。

这是一个有趣的问题，我只能给出部分答案。

很容易看到p上的构造。Papadimitriou的论文505显示了AUV的等效性及其特殊情况

$G$$1$$X$$G$$v\notin X$

一方面，我发现很难想象这样一种图形的转换会把大量的源减少为一个。

但是，另一方面，MEOL属于所有包含PPAD的经常研究的类，除了PPAD本身之外：

首先，显然

MEOL在PPADS中。

我将在下面的论点中概述一下

MEOL在PPA中

$G=(V,E)$$X$

$|X|$$X$$X$

$s=|X|$$2^k$$2$$s$$G'=(V',E')$$2^k$$V$$A,B\in V'$$(A,B)$$E'$$A=\{a_0,\dots,a_{2^k-1}\}$$B=\{b_0,\dots,b_{2^k-1}\}$$(a_i,b_i)\in E$$i<2^k$

$G'$$1$$A\in V'$$G$$A$$A\cap X\ne\varnothing$$1$

$A$$t=|A\cap X|$$0<t\le2^k$$t=2^k=|A|$$A\subseteq X$$\binom{s}{2^k}$$p$$\binom ab$$b+(a-b)=a$$p$$k$，因此是奇数。此外，在和元素子集之间存在多项式时间双射。使用这个，我们可以定义的元素子集中的所有子集之外的所有多项式时间匹配。我们将其包括在图中，这将的已知源数量减少到。$\binom{s}{2^k}$$[0,\binom ab)$$b$$[0,a)$$2^k$$X$$t=2^k$$1$

对于，进位计数公式显示是偶数。同样，我们可以找到元素子集的显式匹配。我们将其扩展到已知来源与通过将匹配到，和离开固定。$0<t<2^k$ tXA| 一个∩X| =吨甲∩X甲∖$\binom st$$t$$X$$A$$|A\cap X|=t$$A\cap X$$A\smallsetminus X$

通过这种方式，我们生成具有一个已知叶顶点的无向图。我们向PPA oracle请求另一个叶子，通过构造，我们可以从中提取MEOL实例的答案。

正如Papadimitriou简要提到的那样，对于任何素数，我们都可以将PPA概括为PPA -类。PPA -完全问题的一个示例是p $p$$p$$p$

AUV -：给定一个有向图和一个顶点，其度数平衡为，找到另一个这样的顶点。$p$$G$${}\not\equiv0\pmod p$

（有关AUV -与Papadimitriou的PPA -定义的等效性，请参见此答案。）$p$$p$

PPA -只是PPA。假设PPA -类是成对不可比的，并且与PPADS不可比。它们都包括PPAD。$2$$p$

我上面概述的参数中并没有什么特别的，可以很容易地修改为$p=2$

对于每个素数 MEOL都在PPA -中。$p$$p$