将PSPACE与多项式层次结构区分开的最小复杂度预告片是什么？

背景

已知的是，存在一个预言使得。P S P A C E A ≠ P H $A$$PSPACE^A \neq PH^A$

甚至众所周知，相对于随机预言片而言，这种分离成立。非正式地讲，这可能意味着有许多预言将$PSPACE$和$PH$分开。

题

这些将$PSPACE$与分开的预言有多复杂$PH$。特别地，有一个oracle $A \in DTIME(2^{2^{n}})$，使得 $PSPACE^A \neq PH^A$？

我们是否有任何预言$A$使得$PSPACE^A \neq PH^A$和$A$具有已知的复杂度上限？

注意：这种预言的存在可能会对结构复杂性理论产生影响。有关更多详细信息，请参见下面的更新。

更新有关下限技术的详细信息

权利要求：如果，那么对于所有的预言甲∈ P / p ø 升ÿ，P 小号P 甲Ç é 甲 = P ħ 甲。$PSPACE = PH$$A \in P/poly$$PSPACE^A = PH^A$

证明示意图：假设。$PSPACE = PH$

让一个oracle 给出。我们可以建立一个多项式时间 Σ 2预言图灵机中号，对于给定长度Ñ，猜测的尺寸的电路p （Ñ ）使用存在量化并验证该电路判定阿通过比较电路的评估和查询结果对于每个长度n个字符串，使用通用量化。$A \in P/poly$$\Sigma_2$$M$$n$$p(n)$$A$$n$

此外，考虑一个决策问题，我将其称为量化布尔电路（QBC），您将获得一个量化布尔电路，并想知道它是否有效（类似于QBF）。此问题是PSPACE完整的，因为QBF是PSPACE完整的。

由假设，它遵循QBC 。比方说，Q 乙Ç ＆Element; ＆Sigma; ķ一些ķ足够大。设Ñ表示一个多项式时间Σ ķ图灵机可以解决QBC。$\in PH$$QBC \in \Sigma_k$$k$$N$$\Sigma_k$

我们可以交融的计算和ñ（类似于在卡普，立顿定理的证明进行），以获得一个多项式时间 Σ ķ甲骨文图灵机，解决了Q 乙Ç 一个。$M$$N$$\Sigma_k$$QBC^A$

非正式地，这台新机器将oracle QBC（即带有oracle gates的QBC）作为输入。然后，它计算一个电路，该电路在长度为n的输入上计算 （同时剔除前两个量词）。接下来，它将A的电路替换为Oracle QBC中的Oracle门。最后，它继续在此修改实例上应用多项式时间∑ k算法的其余部分来求解Q B $A$$n$$A$$\Sigma_k$$QBC$

现在，我们可以显示条件下界。

推论：如果存在一个oracle ，使得P 小号P 甲Ç é 甲 ≠ P ħ 甲，然后Ñ Ë X P ⊈ P / p ö 升ÿ。$A \in NEXP$$PSPACE^A \neq PH^A$$NEXP \nsubseteq P/poly$

证明示意图：假设存在，使得P 小号P 甲Ç é 甲 ≠ P ħ 甲。如果ñ Ë X P ⊆ P / p Ø 升Ÿ，那么我们将得到一个矛盾。$A \in NEXP$$PSPACE^A \neq PH^A$$NEXP \subseteq P/poly$

特别是，如果，然后由如权利要求上面我们有P 小号P 甲Ç é ≠ P ħ。然而，已知的是，Ñ Ë X P ⊆ P / p ö 升ý意味着P 小号P 甲Ç é = P ħ。$NEXP \subseteq P/poly$$PSPACE \neq PH$$NEXP \subseteq P/poly$$PSPACE = PH$

（有关P / poly已知结果的一些详细信息，请参见此处）

我相信，如果您追溯到例如Ker-I Ko的调查的 4.1节中给出的论点，您将获得的上限。实际上，我们可以在这里用任何函数n f （n ）替换n 2，其中f （n ）→ ∞为n → ∞。这不是要求的，但是已经很接近了。$\mathsf{DTIME}(2^{2^{O(n^2)}})$$n^2$$nf(n)$$f(n) \to \infty$$n \to \infty$

特别地，使用oracle分隔和电路下限之间的转换并遵循Ko的表示法，我们具有以下内容：

• 我们将对长度为字符串进行对角线化，其中p n（x ）= x n + n是“第n个多项式”（在多项时间算法的一些枚举中），m （n ）将在下面指定。$t(n) = p_n(m(n))$$p_n(x) = x^n + n$$n$$m(n)$

• Translating into circuit lower bounds, this means we're considering bounded-depth circuits on $2^{t(n)}$ inputs.

• The requirement (see p. 15 of Ko) we need $m(n)$ to satisfy $\frac{1}{10} 2^{m/(d-1)} > d p_n(m(n))$ for all $n$. Here $d$ is the depth of the circuits we want to diagonalize against, or equivalently the level $\mathsf{\Sigma_d^p}$ of $\mathsf{PH}$ we want to diagonalize against. To diagonalize against all of $\mathsf{PH}$, simply choose $d$ to be a function of $n$ that is $\omega(1)$; we may choose such a $d$ that grows arbitrarily slowly, though (perhaps subject to some computability assumption on $d(n)$, but that should be no obstacle). If we make the guess that $d(n)$ is constant (even though it's not, but it will grow arbitrarily slowly), then we see that $m(n)$ around $2^n$ should work.

• This means that $t(n) \sim 2^{n^2}$, so we are looking for a lower bound against circuits with $\sim 2^{2^{n^2}}$ inputs.

• Trevisan and Xue (CCC '13) showed that one can find an assignment on which a given bounded-depth circuit on $N$ inputs doesn't compute PARITY with a seed of $polylog(N)$ length.

• For us $N=2^{2^{n^2}}$, so $polylog(N) = 2^{O(n^2)}$. We can brute force over such seeds in $2^{2^{O(n^2)}}$ time and use the first one that works.

To replace the $n^2$ with $nf(n)$, just let $p_n(x) = x^{f(n)} + f(n)$ instead.

Interestingly, if I'm understanding correctly, I believe this implies that if one could improve the Trevisan-Xue...

• ...to a pseudodeterministic/Bellagio algorithm (see Andrew Morgan's comment below), one would get that $\mathsf{BPEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$; or

• $polylog(N)$ bits but then ran in $poly(N)$ time, and such that on any accepting path it makes the same output (cf. $\mathsf{NPSV}$), it would imply $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$; or

• ... to a deterministic algorithm, one would get $\mathsf{EXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$.

On the one hand, this suggests why derandomizing the switching lemma further should be hard - an argument which I'm not sure was known before! On the other hand, this strikes me as a kind of interesting take on hardness versus randomness (or is this actually a new thing, oracles versus randomness?).