电路大小的层次定理

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我认为电路复杂度的大小层次定理可能是该领域的重大突破。

这是一种有趣的班级分离方法吗？

这个问题的动机是我们必须说

有一些函数无法通过尺寸电路来计算，而可以通过尺寸电路来计算，其中。（可能还有关于深度的问题） $f(n)$ $g(n)$ $f(n)<o(g(n))$

因此，如果，则该属性似乎是不自然的（违反了较大性条件）。显然，我们不能使用对角化，因为我们的设置不统一。 $f(m)g(n) \leq n^{O(1)}$

在这个方向上有结果吗？

— 安东尼奥·法
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事实上，它可以表明，对于每 $f$ 足够小（小于 $2^n/n$ ），有功能的通过尺寸的电路可计算 $f(n)$ 但不通过尺寸的电路 $f(n)-O(1)$ 或甚至 $f(n)-1$ ，这取决于栅极的您允许的类型。

下面是一个简单的论点，即显示有功能的大小可计算 $f(n)$ 但不是大小 $f(n)-O(n)$ 。

我们知道：

有一个函数 $g$ 要求电路复杂度至少为 $2^n/O(n)$ ，尤其是电路复杂度大于 $f(n)$ 。
函数 $z$ 使得每个输入可由恒定大小的电路计算。 $z(x)=0$ $x$
如果两个函数和仅在一个输入上不同，则它们的电路复杂度最多相差 $g_1$ $g_2$ $O(n)$

假设在输入上不为零。称这样的输入。我们可以为每个考虑函数，它是集合的指标函数；因此，。 $g$ $N$ $x_1,\ldots,x_N$ $i$ $g_i(x)$ $\{ x_1,\ldots,x_i \}$ $g_0=0$ $g_N=g$

显然，有一些使电路复杂度大于，电路复杂度小于。但随后有电路的复杂性小于，但大于。 $i$ $g_{i+1}$ $f(n)$ $g_i$ $f(n)$ $g_{i}$ $f(n)$ $f(n) - O(n)$

— 卢卡·特雷维森（Luca Trevisan）
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如何证明去，有功能的大小的电路可计算

，但是不受大小的电路

？

f (n)

$f(n)$

f (n) - O (1)

$f(n) - O(1)$

— 威廉·霍扎

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可以使用简单的计数参数来证明此结果。考虑将随机函数应用于输入的前位。通过Riordan和Shannon的计数参数，该函数几乎肯定具有电路复杂度，并且匹配上限。因此，选择使得可以区分大小 $k$ $(1+o(1))(2^k/k)$ $k$ $2g(n) < 2^k/k < f(n)/2$ 从尺寸。请注意，所讨论的函数甚至不一定是可计算的，但是我们可以通过标准技术将它们置于指数时间层次中（只要我们能够计算出正确的值）。我们当然不能证明任何大于，因为那是任何函数的最坏情况下的电路复杂度。 $g(n)$ $f(n)$ $k$ $2^n/n$

自然证明不适用于这种类型的论证，因为所讨论的属性是``没有小电路''，这很难从函数的真值表计算得出（大概）。目前尚不清楚这种类型的计数在复杂度等级上有多低。有什么理由不能使用计数参数来证明下界？从来没听说过。 $NE$

— 罗素（Russell Impagliazzo）
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没有直接原因，但是所有已知方法（对参数进行计数的实现）都要求我们最终验证给定函数的真值表具有较高的电路复杂性。一个

算法针对此问题会定义一个

针对纯天然属性

（其中，根据的史蒂芬Rudich的文件之一，是不大可能的）。当然，解决这个问题似乎没有必要...

N E

$NE$

N P / p o l y

$NP/poly$

P / p o l y

$P/poly$

— Ryan Williams