无氢切割问题

假设给定一个连接的，简单的，无向的图H。

无H割问题定义如下：

给定一个简单的，无向的图G，是否存在割线（将顶点划分为两个非空集L，R），使得由割线集（L和R）生成的图都不包含与H同构的子图。

例如，当H是具有通过单个边连接的两个顶点的图时，问题与确定图是否为二部图并且在P中相同。

如果H是三角形，则类似于单色三角形问题的顶点版本。

我想我已经能够证明，当H与至少三个顶点进行2连接时，无H割的问题是NP-Complete。

我还没有找到对此问题的任何参考（因此也没有任何结果）。

我们是否可以放弃2连通性条件并仍然证明NP完全性？

是否有人知道暗示上述结果或更强结果的任何已知结果（或者您认为可能相关）？

您可以寻找术语“分割”或“顶点分割”或“着色”，而不是“剪切”。自80年代中期（或可能更早）以来，已经考虑了沿您暗示的线的色数的各种概括。加拿大组合技术会议上有一些较早发现的参考文献，但您可能想看看Cowen，Goddard和Jesurum（JGT或SODA 1997）和相关参考文献/引用。

编辑15/02/2011

$H$

$G$

答：Farrugia。顶点划分为固定的加性诱导遗传特性是NP-hard。电子。J.康宾。11（2004）＃R46（9页）。

我意识到这可能无法直接回答您的问题（关于参考文献），但是我想概述一种可能的方法，以显示没有2连接条件的NP硬度。遗漏了两件事：一是可以证明“源问题”的NP硬度，另一件事是我要还原为“彩色”的H形切口，这可能或可能没有用。关于第一个瓶颈，我认为我有一个证明我对形式化很懒惰，因此我希望我能尽快解决。我已经考虑过将彩色版本减少到您所提供的版本的想法，但是到目前为止运气不佳。如果H是2连接的，我也很好奇您的证明，您能否提供一些详细信息？

因此，彩色版本如下：图形中的每个顶点都配有调色板P（固定的有限集合）中的颜色列表。我们需要找到一个切口，以便没有分区会诱导出H的单色副本，也就是说，不存在| H |的子集。产生H副本的顶点，并且相应的颜色列表具有非空交点。

这是d-SAT的受限变体的简化，其中d是| H |。（请注意，当d = 2时，这显然不起作用）。

d-SAT的受限变型如下：

1. 每个子句只有正或负的字面量，让我分别指代P子句和N子句。

2. 每个P子句都可以与N子句配对使用，以使两个子句包含相同的变量集。

（我对为什么这个看似受限制的版本可能很难-有一个非常密切相关的限制很难-我可以想象从那里减少，尽管我很容易误会！）

鉴于这个问题，减少可能表明了这一点。该图为公式的每个变量都有一个顶点。对于每个子句C_i，在参与该子句的变量集上诱导H的副本，并将颜色i添加到该顶点集。这样就完成了构建。

任何分配都自然对应于剪切：

L =设置为0的所有变量的集合，R =设置为1的所有变量的集合。

声称令人满意的分配对应于无H的单色切割。

换句话说，当（L，R）通过令人满意的赋值给出时，将不会使L或R诱导出H的单色副本。如果L具有这样的副本，则请注意，相应的P子句必须具有其所有变量均设置为0，这与分配令人满意的事实相矛盾。相反，如果R具有这样的副本，则相应的N条子必须将其所有变量都设置为1，这又是矛盾的。

相反，请考虑任意剪切，然后将一侧的变量设置为1，将另一侧的变量设置为0（请注意，使用哪种方式都无关紧要-给定我们正在使用的公式类型，赋值并将其翻转版本就可满足性而言是等效的）。如果此分配不满足条款，则我们可以将其追溯到一侧的H的单色副本，这与切口的单色H自由度相反。

必须沉迷于着色的原因是因为H的副本可能会干扰以直接还原尝试创建与子句不对应的H的虚假副本。实际上，即使H像路径一样简单，它也会失败（严重）。

我没有摆脱掉颜色的运气，而且我不确定我是否使问题更简单了。但是，我确实希望-如果正确-可能是一个开始。