Questions tagged «lower-bounds»

众所周知，函数有界误差量子查询复杂度是。现在的问题是，如果我们希望我们的量子算法以概率而不是通常的成功地为每个输入成功。现在，就而言，合适的上限和下限是什么？OR(x1,x2,…,xn)Ø[R（X1个，X2，…，Xñ）OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)Θ(n−−√)Θ（ñ）\Theta(\sqrt{n})1−ϵ1个-ϵ1-\epsilon2/32/32/3ϵϵ\epsilon 立即，通过重复Grover算法来查询此任务就足够了。但是从我的回忆中，这即使是普通的Grover算法，如果谨慎运行（即对于适当的迭代次数）也可以仅通过O（\ sqrt {n}）就可以达到）之类的效果迭代。因此，使用它可以改善所有\ epsilon。另一方面，我不希望\ Omega（\ sqrt {n}）是非常小的\ epsilon的正确答案。O(n−−√log(1/ϵ))Ø（ñ日志⁡（1个/ϵ））O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))ϵ=O(1/n)ϵ=Ø（1个/ñ）\epsilon=O(1/n)O(n−−√)Ø（ñ）O(\sqrt{n})ϵϵ\epsilonΩ(n−−√)Ω（ñ）\Omega(\sqrt{n})ϵϵ\epsilon 不过，我很感兴趣，看看有什么可以在以下方面显示依赖性上和不同范围的下限尤其是当很小说或对于大。ϵϵ\epsilonϵϵ\epsilonϵϵ\epsilonϵ=exp(−Ω(n))ϵ=经验值⁡（-Ω（ñ））\epsilon= \exp(-\Omega(n))ϵ=1/nkϵ=1个/ñķ\epsilon=1/n^kkķk （给出一些背景信息，我遇到的一般现象是在量子查询复杂度的背景下。）

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编辑：现在有一个与此帖子相关的后续问题。 定义 令和为整数。我们使用符号。ccckkk[i]={1,2,...,i}[i]={1,2,...,i}[i] = \{1,2,...,i\} 甲矩阵被说成是一个 -到-着色矩阵如果下式成立：c×cc×cc \times cM=(mi,j)M=(mi,j)M = (m_{i,j})ccckkk 我们对所有有，mi,j∈[k]mi,j∈[k]m_{i,j} \in [k]i,j∈[c]i,j∈[c]i, j \in [c] 对于与和我们都有。i,j,ℓ∈[c]i,j,ℓ∈[c]i,j,\ell \in [c]i≠ji≠ji \ne jj≠ℓj≠ℓj \ne \ellmi,j≠mj,ℓmi,j≠mj,ℓm_{i,j} \ne m_{j,\ell} 如果存在c -to- k着色矩阵，则我们将写入。c⇝kc⇝kc \leadsto kccckkk 请注意，对角线元素无关。我们只对M的非对角线元素感兴趣MMM。 以下替代观点可能会有所帮助。令R(M,ℓ)={mℓ,i:i≠ℓ}R(M,ℓ)={mℓ,i:i≠ℓ}R(M,\ell) = \{ m_{\ell,i} : i \ne \ell \}是\ ell行中非对角元素的集合ℓℓ\ell，类似地，令C(M,ℓ)={mi,ℓ:i≠ℓ}C(M,ℓ)={mi,ℓ:i≠ℓ}C(M,\ell) = \{ m_{i,\ell} : i \ne \ell \}是\ …

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在布尔函数的决策树复杂度中，众所周知的下界方法是找到一个代表该函数的（近似）多项式。Paturi用表示为的数量来描述对称布尔（部分和全部）函数：ΓΓ\Gamma 定理（大小床）：设是任何非恒定对称函数，并且表示，当（即汉明权重就是）。的近似度（表示为为，其中ffffk=f(x)fk=f(x)f_k=f(x)|x|=k|x|=k|x|=kxxxkkkfffdeg˜(f)deg~(f)\widetilde{deg}(f)Θ(n(n−Γ(f))−−−−−−−−−−√)Θ(n(n−Γ(f)))\Theta(\sqrt{n(n-\Gamma(f))})Γ(f)=min{|2k−n+1|:fk≠fk+1 and 0≤k≤n−1}Γ(f)=min{|2k−n+1|:fk≠fk+1 and 0≤k≤n−1}\Gamma(f)=\min\{|2k-n+1|:f_k\neq f_{k+1}\text{ and } 0\leq k\leq n-1\} 现在让Thrt(x)Thrt(x)Thr_t(x)为阈值函数，即如果x \ geq t为Thr_t（x）= 1。在本文中（参见第15页第8节）说\ widetilde {deg}（f）= \ sqrt {（t + 1）（N-t + 1）}。Thrt(x)=1Thrt(x)=1Thr_t(x)=1x≥tx≥tx\geq tdeg˜(f)=(t+1)(N−t+1)−−−−−−−−−−−−−−√deg~(f)=(t+1)(N−t+1)\widetilde{deg}(f)=\sqrt{(t+1)(N-t+1)} 注意，对于阈值函数，我们有Γ(Thrt)=|2(t−1)−n+1|Γ(Thrt)=|2(t−1)−n+1|\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|，因为|x|=t−1|x|=t−1|x|=t-1函数从0变为1。 如果我直接将Paturi定理应用于\ Gamma的值ΓΓ\Gamma，则不会获得其他论文中报告的阈值函数的下界。上面的\ Gamma（Thr_t）的值Γ(Thrt)Γ(Thrt)\Gamma(Thr_t)正确吗？我想念什么？ 编辑：我还尝试计算阈值的量子对手下限。首先，让我们回顾一下定理。 定理（未加权量子对手）：令fff为布尔布尔函数，令A⊆f−1(0)A⊆f−1(0)A\subseteq f^{-1}(0)和B⊆f−1(1)B⊆f−1(1)B\subseteq f^{-1}(1)为（硬）输入的子集。令R⊆A×BR⊆A×BR\subseteq A\times B为关系，并为每个1 \ leq i \ leq n设置R_i = \ {（x，y）\ in R：x_i \ neq …

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