Questions tagged «sample-complexity»

考虑以下计算任务：我们要针对均匀概率分布抽样一个由变量（变体：变量子句）组成的3-SAT公式，条件是该公式可满足：Ñ 米ñnnñnn米mm 问题1：能否通过传统计算机（带有随机位）有效地实现这一点？ 问题2：量子计算机能否有效地实现这一目标？ 我也对以下两个变体感兴趣： V2：对所有公式进行抽样，并获得概率分布，该概率分布使可满足的公式的权重是不满足的公式的权重的两倍。 V3：您在其中权重是满足要求的作业数量的示例（此处仅关注Q2）。 更新： Colins的答案演示了V3的简单算法。（我假设这在传统上是困难的，这是错误的。）让我提及所有三个问题的另一个变体： 您需要预先指定子句，并且需要对输入子句的随机可满足子集进行采样。米mm

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量子计算机可以做的一件事（甚至可能仅使用BPP +对数深度量子电路）是对P中布尔值函数的傅里叶变换进行近似采样。±1±1\pm 1 在这里和下面，当我谈论采样傅立叶变换时，我的意思是根据选择x 。（如有必要，请进行标准化）。|f^(x)|2|f^(x)|2|\hat f(x)|^2 我们能否描述P的近似采样布尔函数的复杂度类，我们可以称之为P-FOURIER SAMPLING？这堂课有没有完整的问题？ 给定X类布尔函数，可以说关于计算复杂度，我们可以将其称为SAMPLING-X，它是对X中函数的傅立叶变换进行近似采样的方法。（我想如果X是BQP，则X-SAMPLING为仍然在量子计算机的能力之内。） 在S中有SAMPLING-X的X的例子是什么？有没有有趣的例子，其中SAMPLING-X是NP硬的？ 此问题有多种变体也可能很有趣。在傅立叶方面，我们可以谈论的不是近似样本，而是近似抽样能够（概率地）实现的决策问题。在原始方面，我们可以从概率分布的类X开始，并询问近似采样X中的分布D和近似采样（归一化）傅立叶变换的能力之间的关系是什么。 简而言之，关于此问题的已知信息。 更新：马丁·施瓦兹（Martin Schwarz）指出，如果所有傅立叶系数本身都只集中在多项式条目上，那么在BPP中就有可能近似这些大系数（从而也近似于样本）。这可以追溯到Goldreich-Levin，和库什列维兹-曼苏尔。是否有有趣的函数类，其中有一个概率多项式算法可以对傅里叶侧进行近似采样，其中傅里叶系数的分布比多项式系数大？ 稍后添加：让我提及一些具体问题。 1）在P中近似采样布尔函数的傅立叶变换有多困难。 a）斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）在下面的评论中提到的一个问题是要表明这不在BPP中。或更弱一点的是，如果此任务在BPP中进行，则会发生崩溃。（苏格兰人猜想就是这种情况。） b）另一个问题是表明，就某些基于量子的复杂性类别而言，这项任务很难。例如，为了表明您可以执行此任务，您可以借助对数深度量子计算机或类似的工具解决BPP中的决策问题。 2）什么是布尔函数类，以便大约可以对P的Fourler变换进行采样在P中。我们知道的是，当Fourier系数集中于多项式多项式系数时，就是这种情况，但这似乎非常局限。 3）在PH中，X机可以近似采样X机可以计算的每个函数的傅立叶变换的复杂度等级X。 4）我对采样交叉事件的傅里叶变换以在n x n的六边形网格上进行渗滤的问题特别感兴趣。

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众所周知，对于PAC学习，存在一些自然概念类（例如，决策列表的子集），在这些概念类中，计算无边界学习者进行信息理论学习所需的样本复杂度与多项式所需的样本复杂度之间存在多项式差距。时间学习者。（请参见例如http://portal.acm.org/citation.cfm?id=267489&dl=GUIDE或http://portal.acm.org/citation.cfm?id=301437） 但是，这些结果似乎取决于对特定示例中的秘密进行编码，因此不会自然地转化为学习的SQ模型，学习者只能在其中查询分布的统计属性。 是否知道是否存在可以通过O（f（n））查询在SQ模型中进行信息理论学习的概念类，但是只有通过g（n）的Omega（g（n））查询才可以进行计算有效的学习）>> f（n）？

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这是一个与学习军人类似的问题： 输入：函数，由隶属度oracle表示，即给定的oracle 返回f （x ）。Xf:{0,1}n→{−1,1}F：{0，1个}ñ→{-1个，1个}f: \{0,1\}^n \rightarrow \{-1,1\}xXxf(x)F（X）f(x) 目标：查找子多维数据集S小号S的{ 0 ，1 }ñ{0，1个}ñ\{0,1\}^n与体积|S| = 2n − k|小号|=2ñ-ķ|S|=2^{n-k}使得| ËX ∈ 小号f（x ）| ≥ 0.1|ËX∈小号F（X）|≥0.1\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.1。我们假定存在这样的子多维数据集。 这是很容易得到一个算法，在时间用完ñÔ （ķ ）ñØ（ķ）n^{O(k)}和回报的概率一个正确的答案≥ 0.99≥0.99\ge 0.99通过尝试所有（2 n ）ķ（2ñ）ķ(2n)^k的方式来选择子多维数据集和采样平均每一个。 我对找到一种可以在时间中运行的算法很感兴趣p Ò 升y（n ，2ķ）pØ升ÿ（ñ，2ķ）poly(n,2^k)。替代地，下界将是巨大的。这个问题类似于学习军政府，但我看不出它们的计算难度之间存在实际联系。 更新：@Thomas下面证明了此问题的样本复杂度为p Ò 升y（2ķ，logn ）pØ升ÿ（2ķ，日志⁡ñ）poly(2^k,\log n)。有趣的问题仍然是问题的计算复杂性。 编辑：为简单起见，您可以假设存在一个带有的子多维数据集。Ë X ∈ 小号 ˚F （X …

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由于未给出答案，因此已设置标志，要求将此问题转换为社区Wiki。 Aaron Sterling，Sasho Nikolov和Vor的评论已综合为以下决议，该决议已开放给社区Wiki讨论： 已解决： 关于输出数字，样本或模拟轨迹的经典算法，严格的数学逻辑要求以下四个命题全部被接受，或者都不接受： 我们可以排除多项式时间经典算法来生成随机数。 [1] “我们可以排除多项式时间经典算法对量子计算机的输出分布进行采样的唯一假设，即多项式层次结构是无限的。” [2] “我们无法以通常的方式模拟[量子力学轨迹] ……变量太多。” ψ(t)ψ(t)\psi(t) [3] 由于经典算法无法生成随机数的严格原因，排除了扩展的Church-Turing-Thesis（ECT）。 [4] 要开始讨论，这里是肯定和否定的答复，尽管每个答复都可以辩护，但故意将其夸大了。一个强烈肯定的论点可能是： 肯定的： 这四个陈述反映了一些定理，为严格起见，这些定理要求我们永远不要说生成随机数，随机样本或量子模拟的经典算法，而只说生成伪随机数和（由扩展）伪随机样本和伪量子模拟。 可以理解，所有四个陈述都是正确的。此外，为避免歧义并防止混淆，数学家应鼓励科学家和工程师在几乎所有“随机”，“样本”和“量子模拟”的用法后加上前缀“伪”。 一个强烈否定的论点可能是： 否定的： 这些陈述（及其相关联的形式定理）是引导我们进入Lakatos式的 “红灯”数学领域的路标，我们被我们热情地拥护（可能称为）伪随机性学科，伪采样和伪模拟……由于美味可恶的原因而有趣的数学实践：它们实现了数学上的效果，而形式逻辑认为这是不可能的。因此，有什么比这个结论更神奇，更有趣的：该决议的四个陈述在形式上是正确的，但实际上是错误的？ 可以理解，所有四个陈述都是错误的。此外，由于在这种神奇的环境中出现了“随机性”，“采样”和“量子模拟”的大多数实际应用，在这种环境中，故意忽略了与Kolmogorov复杂性和口述评估有关的问题，因此数学家应该改变其用法。 但是，实际上，复杂性理论家应该如何表达他们与随机性，样本和模拟相关的发现……一方面是为了保持清晰度，简洁性和严谨性的合理平衡……另一方面，是为了保持与其他STEM学科的低噪声通信？后一个目标尤其重要，因为在诸如密码学，统计测试，机器学习和量子模拟等领域中，实用能力在不断提高。 阅读合理的答案（肯定的或否定的）非常有帮助（也很有趣）。 问的问题是 验证在与抽样，模拟和测试扩展的Church-Turing（ECT）论文相关的复杂度理论定义中，验证的公认角色是什么？ 首选答案是对深入讨论这些问题的文章，专着或教科书的引用。 如果该文献被证明是稀疏的或不令人满意的，那么（两天后）我将把这个问题转换为社区维基，询问： 验证在与抽样，仿真和测试扩展的Church-Turing（ECT）论文相关的复杂度理论定义中，验证的合理和适当角色是什么？ 背景 提出该问题的动机是基于最近的主题“反驳Church-Turing论文意味着什么？” ，特别是Gil Kalai和Timothy Chow给出的（出色的恕我直言）答案 在提出的问题中，“适当和/或公认的复杂性理论定义”一词应解释为限制Alice提出如下不合理的主张： 爱丽丝： 这是我的（单光子）线性光学网络计算出的真实随机二进制数字的实验样本。鲍勃： 这是我用经典图灵机计算出的伪随机数的模拟样本。爱丽丝： 对不起，鲍勃...您的样本在算法上是可压缩的，而我的则不是。因此，我的实验数据表明ECT是错误的！” 在没有将验证与抽样相关联的情况下，爱丽丝的推理是无可挑剔的。换句话说，复杂性理论家是否应将ECT视为……几十年前已被正式证明？ 从实践的角度来看，与各种状态空间上的量子轨迹采样相关的模拟方法已在许多科学和工程学科中得到广泛使用。这就是为什么对科学和工程学中验证的核心作用（与可复制性密不可分的）采样的复杂性理论定义非常欢迎实践的科学家和工程师……尤其是在这些定义伴随着描述定理的计算复杂性的定理的情况下经过验证的抽样。 附加编辑： 由于日内瓦大学和id Quantique公司之间的合作，在现实中完成此练习是完全可行的。 以下是1024个随机位，这些位已通过id Quantique认证为算法上不可压缩： 0110001000010111111100010111001000101110110001001100000010010110 …

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