随着所有投入要素以不变但不同的增长率增长，新古典生产函数的增长率是否会收敛？

假设你有一个带N输入的新古典生产函数

$ F（X_T ^ 1，...，X_T ^ N）$

所有输入因子在连续时间内增长，且增长率恒定但不相同$ g ^ j $。假设$ g ^ 1 \ leq g ^ 2 \ leq ... \ leq g ^ N $。那么F $的增长率就是这样

$ \ hat {F} = \ sum_ {j = 1} ^ N \ varepsilon_ {F，x ^ j} g ^ j $

与$ \ varepsilon_ {F，x ^ j} $相比$ x ^ j $的弹性为$ F $。由于$ F $是线性同质的，我知道$ \ sum_ {j = 1} ^ N \ varepsilon_ {F，x ^ j} = 1 $成立。 $ \ frac {\ partial F} {\ partial x ^ j}＆gt; 0 $和$ \ frac {\ partial ^ 2 F} {\ partial {x ^ j} ^ 2}＆lt; 0 $暗示$ \ varepsilon_ { F，X ^Ĵ}大于0 $。于是

$ g ^ 1 \ leq \ hat {F} \ leq g ^ N $ $ \ forall t $

我的问题是：$ \ hat {F} $会收敛为$ t \ to \ infty $？我发现很难想象弹性会在某个值附近波动（周期性），因为所有输入因子比率都会变为零或无穷大（或者在相同增长率的情况下保持整个时间不变）。

我试图表明弹性都收敛了。我怀疑结果可能取决于$ \ frac {\ partial ^ 2 F} {\ partial x_j \ partial x_k}＆gt; 0 $ for $ k \ neq j $的原因，但这两种情况总是存在，但是对此我不确定。

提前谢谢大家的帮助！如果我的英语看起来有点尴尬，那是因为我是德国人。但我希望你能理解这个问题。 :)

我不确定任意增长率的弹性会收敛。

这是对问题的处理。 $ F $中的下标表示偏导数。我将省略时间下标。根据定义，$ i $ -th输入的弹性是边际乘积（$ F_i $）与平均乘积$（F / x_i）$的比率。因此，为了使弹性能够在时间上稳定，边际产品的增长率必须等于（或等于极限）平均产品的增长率。

对于输入$ x_ {1} $，我们有

$$ \ frac {d} {dt} F_1 = F_ {11} \ dot x_ {1} + F_ {12} \ dot x_ {2} + ... + F_ {1n} \ dot x_ {n} $$

所有输入都是严格正数，因此我们可以乘以和除以，并除以$ F_1 $以获得增长率（用波浪号表示）

$$ \ tilde {F_1} = \ frac {dF_1 / dt} {F_1} = \ frac {F_ {11} x_1} {F_1} \ frac {\ dot x_ {1}} {x_1} + ... + \ frac {F_ {1n} x_n} {F_1} \ frac {\ dot x_ {n}} {x_n} $$

每个术语的第一个比率是每个输入的$ F_1 $的弹性，比如$ \ eta_ {1k} $。所以，

$$ \ tilde {F_1} = \ sum_ {k = 1} ^ n \ eta_ {1k} g_k $$

和其他输入类似。

转到第一个输入的平均值，我们有

$$ \ frac {d} {dt}（F / x_1）= \ frac {F_1x_1 - F} {x_1 ^ 2} \ dot x_1 + \ frac {F_2} {x_1} \ dot x_2 + ... + \ frac { F_n} {x_1} \ dot x_n $$

操控，

$$ \ frac {d} {dt}（F / x_1）= \ left [F_1- \ frac {F} {x_1} \ right] g_1 + \ frac {F} {x_1} \ frac {F_2x_2} {F} \ frac {\ dot x_2} {x_2} + ... + \ frac {F} {x_1} \ frac {F_nx_n} {F} \ frac {\ dot x_n} {x_n} $$

$$ = \ frac {F} {x_1} \ cdot \ Big（（e_1-1）g_1 + e_2g_2 + ... + e_ng_n \ Big）$$

$$ \ implies \ frac {d（F / x_1）/ dt} {（F / x）} = \ tilde F - g_1 = \ sum_ {k = 1} ^ ne_kg_k - g_1 $$

因此，为了稳定所有的弹性（以及$ \ tilde F $稳定），我们希望，至少最终，

$$ \ forall i = 1，...，n \; \; \; \ sum_ {k = 1} ^ n \ eta_ {ik} g_k = \ sum_ {k = 1} ^ ne_kg_k - g_i $$

将$ \ mathbf H $表示为$ n \ times n $边际乘积弹性矩阵，$ \ mathbf I_n $单位矩阵，$ \ mathbf e $ an $ n \ times 1 $ vector包含输出弹性$ e_i $，$ \ mathbf i $ 1的列向量，以及$ \ mathbf g $输入增长率的$ n \ times 1 $列向量，我们可以写出所有弹性的条件紧凑稳定，如

$$ \ big（\ mathbf H + \ mathbf I_n - （\ mathbf i \ oplus \ mathbf e'）\ big）\ mathbf g = 0 $$

我注意到矩阵项的总和 不 完全取决于增长率矢量。因此，上述正交性条件不能适用于任意$ \ mathbf g $（除非我忽略了由$ F $的同质性引起的某些属性）。