连续完成市场

在具有有限数量的州n $ $的标准离散时间经济体中，完整的市场经济只是一个拥有$ n $独立资产的经济体（Think Ljunqvist和Sargent第8章）。这是因为$ n $独立资产足以明天跨越这组国家。

我上周与一位教授进行了一次讨论，其中他指出，在考虑资产定价时，连续时间的一个便利是，在连续的时间经济中，人们可以通过无风险债券和风险资产获得完整的市场（独立）对于经济中的每一个布朗运动。

他在我们谈话时解释了这一点，所以我认为我基本上理解它，但想知道是否有人会介意写下细节？

我可能会在这周花一两天时间（取决于差分微积分的某些属性），所以如果没有其他人回答这个问题，那么希望我能提供一个满意的答案。

我是应该回答这些连续时间问题的最后一个人，但如果没有其他人，我想我会试一试。 （我对模糊不清的连续时间融资的任何更正都是非常受欢迎的。）

我的印象一直是，这最好被解释为结果 鞅表示定理 。首先，我会松散地建立一些符号。让概率空间由$ n $独立的维纳过程$（Z_t ^ 1，\ ldots，Z_t ^ n）$生成。让$ n + 1 $资产，$ $ $资产在$ t $的价值由$ S_t ^ i $给出。假设资产$ i = 0 $是无风险债券$ dS_t ^ 0 = r_tS_t ^ 0dt $，而资产$ i = 1，\ ldots，n $各自有风险且由相应的$ Z_t ^ i $驱动： $$ dS_t ^ I = \ mu_t ^ IDT + \ sigma_t ^ idZ_t ^ I $$ 假设有一个严格正SDF过程$ m_t $标准化为$ m_0 = 1 $，这样$ m_tS_t ^ i $是每个$ i $的鞅（基本上是SDF的定义） $$ dm_t = \ nu_t dt + \ psi_t \ cdot dZ_t $$ （我使用$ \ cdot $作为点积，这很方便。）

最后，让$ n + 1 $ -dimensional向量$ \ theta_t $成为我们在$ t $时的投资组合，这样净资产$ A_t $由$ A_t = \ theta_t \ cdot S_t $给出。假设$ A_0 $是固定的，我们还有 $$ dA_t = \ theta_t \ cdot dS_t $$ 现在我将陈述目标，它抓住了完整市场的本质。假设世界在时间$ T $结束，并且我们希望净值$ A $ $等于某个随机$ Y $，这可能取决于直到$ T $时间的完整历史。假设$ A_0 = E_0 [m_TY] $，那么在完全市场的世界中我们可以（$ t = 0 $）使用我们的初始财富$ A_0 $购买时间$ t = T $ payout $ Y $。在没有这些直接完整市场的情况下，问题在于是否存在 然而，投资组合的一些策略 $ \ theta_t $将允许我们在世界各个州获得$ A_T = Y $。在这种情况下，答案是肯定的。

首先，可以计算$ d（m_tA_t）= \ theta_t \ cdot d（m_tS_t）$。因此$ m_tS_t $是一个鞅，暗示$ m_tA_t $是一个鞅。因此我们有$ A_T = Y \ Longleftrightarrow m_TA_T = m_TY $ iff $$ m_tA_t = E_T [m_TY] $$ 对于所有$ t \ in [0，T] $。请注意，假设$ t = 0 $，这是正确的;因此，为了获得相等，只需要证明两侧的增量总是相等的。

现在鞅表示定理进来。由于$ E_t [m_TY] $是鞅，我们可以写 $$ E_t [m_TY] = E_0 [m_TY] + \ int_0 ^ t \ phi_s \ cdot dZ_s $$ 对于一些可预测的过程$ \ phi_s $。所以我们需要能够显示$ d（m_tA_t）= \ phi_t \ cdot dZ_t $。写作 $$ d（m_tA_t）= \ sum_i（m_t \ theta_t ^ i \ sigma_t ^ i + A_t \ psi_t ^ i）dZ_t ^ i $$ 我们看到每个有风险的资产$ i = 1，\ ldots，n $我们需要$ m_t \ theta_t ^ i \ sigma_t ^ i + A_t \ psi_t ^ i = \ phi_t ^ i $，我们可以将其反转以提供所需的投资组合选择$ \ theta_t ^ i $： $$ \ theta_t ^ I = \压裂{\ phi_t ^ I-A_T \ psi_t ^ I} {M_T \ sigma_t ^ I} $$ 然后可以从$ A_t = \ theta_t \ cdot S_t $中撤销无风险资产组合选择$ \ theta_t ^ 0 $。

这里的直觉很简单：我们需要总是有$ A_t $ adjust来维持相等$ m_tA_t = E_t [m_TY] $，但右边的期望值和左边的SDF $ m_t $都是为了响应驾驶过程$ dZ_t ^ i $。因此，我们需要选择一个投资组合$ \ theta_t $，以便$ dA_t $精确抵消这些变动，并且该等式继续保持。我们总是可以在本地执行此操作，我们的资产可以跨越所有风险$ dZ_t ^ i $ - 这可能更普遍，即使是$ n $相关资产，只要它们的增量在本地线性独立。 （这里的案例是$ n $风险资产，每个由独立的布朗运动支持是一个特殊的。）

我一直想发布这个很长一段时间。我遇到了这个，并认为它可以增加一些见解。这个例子来自Munk的“金融资产定价理论”。

请看下图。我们需要多少资产才能拥有完整的市场？

你可能会认为，因为这里有6种不同的状态，我们需要至少6种不同的资产。 在静态设置中，我们知道当我们有$ N $不同的状态时，我们必须有$ N $“足够不同的资产”（在通常的静态设置中，这意味着线性独立）。但是，在动态设置中，情况并非如此。 Munk根据两个不同的观察结果解释了这一点：

（i）不确定性不会立即完全透露，而是一点一点地揭示，（ii）我们可以在资产中动态交易。在这个例子中，经济从时间0到时间1有三种可能的转变。从我们的一期分析中我们知道，三种不同的资产足以“跨越”这种不确定性。从时间1到时间2，经济有两种，三种或一种可能的转变，这取决于经济在时间1的状态。最多，我们需要三种足够不同的资产来跨越这一时期的不确定性。总的来说，如果我们在两个时期都可以访问三个足够不同的资产，我们就可以产生任何股息流程。

在一般多有限状态离散时间市场的一般多项式树版本的情况下，我们可以为树中的每个节点定义 跨越号码 离开该节点的子树的分支数。如果对于树中的任何节点，在随后的时间段内线性独立的交易资产的数量等于跨越数量，那么市场就完成了。

现在，在连续时间模型的情况下，不确定性是由d维标准布朗运动产生的，论证很复杂，但Munk根据前面的讨论给出了一些见解。

鉴于以下观察结果，结果非常直观：

1. 对于瞬间的连续变化，只有均值和方差很重要。
2. 我们可以通过一个随机变量逼近d维冲击$ dz_i $，该变量接受$ d + 1 $可能的值并且具有与$ dz_t $相同的均值和方差。例如，一维冲击$ dz_t $的平均值为零，方差为$ dt $。对于随机变量$ \ epsilon $也是如此，其等于$ \ sqrt {dt} $，概率为$ 1/2 $，等于$ - \ sqrt {dt} $，概率为$ 1/2 $。 ...
3. 通过持续交易，我们可以在每个瞬间调整我们对外部冲击的风险。

因此，在每个瞬间，我们可以将具有不确定性的模型视为由d维标准布朗运动产生的具有$ d + 1 $状态的离散时间模型。因此，只需要$ d + 1 $足够不同的资产来完成市场。