基本的Solow增长模型：稳定性证明

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今年夏天，我正在通过McCandless阅读“RBC的基础知识”来预览即将到来的秋季学期我需要知道的内容。没过多久就找到一个我可以轻易接受但无法证明的陈述。在页9导出的稳态条件后在零技术增长制度（其中是折旧和是劳动力的生长速率），则作者说“从正方程可以看出正静止状态的稳定性 $(\delta + n)\bar{k} = \sigma A_0 f(\bar{k})$ $\delta$ $n$ 注意，0和正之间，函数是45度线的上方，使大于K_T更大。”他提供了一个标准的前瞻性索洛模型状态图，其中我可以用图形方式验证，但不能用于分析。

k_{t + 1} = g (k_{t}) = \frac{(1 - δ) k_{t} + σ A_{0} f (k_{t})}{1 + n}

$k_{t+1} = g(k_t) = \frac{(1-\delta)k_t + \sigma A_0 f(k_t)}{1+n}$

\bar{k}

$\bar{k}$

g (k_{t})

$g(k_t)$

k_{t + 1}

$k_{t+1}$

我试图证明书中的每一个陈述，以便在深入探讨之前更好地熟悉宏观经济理论的细节，但我绝对难以知道如何在时证明，反之亦然。我首先尝试操纵资本运动方程来直接证明它，但我无法得到证据。我一直试图采用的下一个策略是区分资本运动方程并证明其导数在稳态点小于1，但它失败了： $k_{t+1} > k_t$ $0 < k_t < \bar{k}$

\frac{\partial k_{t + 1}}{\partial k_{t}} = \frac{(1 - δ) + σ A_{0} f^{'} (k_{t})}{1 + n} > \frac{(1 - δ) + σ A_{0} f^{'} (\bar{k})}{1 + n} = \frac{(1 - δ) + (δ + n)}{1 + n} = 1

$\frac{\partial k_{t+1}}{\partial k_t} = \frac{(1-\delta) + \sigma A_0 f'(k_t)}{1+n} > \frac{(1-\delta) + \sigma A_0 f'(\bar{k})}{1+n} = \frac{(1-\delta)+(\delta+n)}{1+n} = 1$

有没有人有我可以遵循的替代策略？这让我疯了两天。

— economicist
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f (k_{t})

$f(k_t)$

g (k_{t})

$g(k_t)$

\bar{k}

$\bar{k}$

(δ + n) \bar{k} = σ A_{0} f (\bar{k})

$(\delta + n)\bar{k} = \sigma A_0 f(\bar{k})$

g (k_{t})

$g(k_t)$

真是个好问题！很高兴看到高质量的答案

— Pedro Cavalcante

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\frac{\partial k_{t + 1}}{\partial k_{t}} |_{\bar{k}} < 1 ⟹ \frac{(1 - δ) + σ A_{0} f^{'} (\bar{k})}{1 + n} < 1

$\frac{\partial k_{t+1}}{\partial k_t}\Big|_{\bar k} <1 \implies \frac{(1-\delta) + \sigma A_0 f'(\bar k)}{1+n} <1$

⟹ f^{'} (\bar{k}) < \frac{δ + n}{σ A_{0}} = \frac{f (\bar{k})}{\bar{k}}

$\implies f'(\bar k) < \frac {\delta+n}{\sigma A_0 } = \frac {f(\bar k)}{\bar k}$

因此，我们需要资本的边际产量小于稳态的平均产品。

$\bar k f'(\bar k) < f(\bar k) \implies f(\bar k)-\bar k f'(\bar k)>0$

— Alecos Papadopoulos
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没错。我一直忘记我能够而且应该在经济学课程中运用经济直觉。由于所有连接都是双向的，因此如果您从MPK <APK规则开始并从那里开始工作，看起来您的证明工作会更好。谢谢！

— 经济学家

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为了完整起见，让我在连续时间框架中说明这一点。Solow方程，在最简单的情况下，是

$\dot{k} = s f(k) - \delta k = \phi(k)$

然后我们有

$\frac{\partial \phi}{\partial k} = s f'(k) - \delta = \frac{sf'(k)k - \delta k }{k}$

$\dot{k} = \phi(k^{\ast}) = 0$ $\delta k = s f(k)$

$\left. \frac{\partial \phi}{\partial k} \right|_{k=k^{\ast}} = \frac{s f' k - s f(k)}{k} = \frac{s}{k} f(k) \left[ \frac{k \cdot f'}{f(k)} - 1 \right]$

$\frac{s}{k}$ $f(k)$ $\frac{k \cdot f'}{f(k)}$ $f$ $k$ $\frac{\partial \phi}{\partial k}$ $k^{\ast}$

— 德登
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