关于子博弈完美均衡的问题

考虑一个包含两个代理X和Y以及两个时间段1和2的完整信息世界。

人X只存在于第二期。

Y人生活在第1和第2期。

X和Y各自赋予外生收入I，可以在两个时期的消费之间分配。

$s_Y$ = Y的保存和 $0\le s_Y \le I$

$c_{1Y}$和分别是代理Y的第一和第二期消耗。$c_{2Y}$

A gent X的偏好对于Y来说是无私的。在观察到Y，，X 的保存之后，X确定他的禀赋为转移到Y的$sY$$tX$$t_x\in [0,I]$

$c_{2X}$代理商X在第2期的消费。

效用函数Y和X分别是

$$V_Y= ln(C_{1Y}) + bln(C_{2Y})$$

$$V_X=ln(C_{2X})+a *V_Y$$

其中a为正，和$a*b\ge 1$$b\in (0,1)$

什么是和的su游戏完美均衡水平？$t_X$$s_Y$

如果是在第一个周期中保存的数量，而是在第二个周期中由转移到的数量，那么的收益作为他选择函数，取的选择是 $S_Y$$Y$$T_X$$X$$Y$$X$$T_X$$Y$$S_Y$

$$\ln(I - T_X) + a\left(\ln(I-S_Y) + b\ln(S_Y+T_X)\right)$$

$X$将通过解决以下问题选择： $T_X$

$$\max_{T_X \geq 0} \ \ \ln(I - T_X) + a\left(\ln(I-S_Y) + b\ln(S_Y+T_X)\right)$$

最优的一阶条件是：

$$\frac{1}{I-T_X} =\frac{ab}{S_Y + T_X}$$

我们得到了解决，$T_X$

$$T_X = \frac{abI-S_Y}{ab+1}$$

这是的最佳响应传递函数。$X$

现在我们在第1期解决的效用最大化问题，考虑到期间2的最佳响应函数。$Y$$X$

$$\begin{eqnarray*} \max_{S_Y\geq 0} & & \ln(I - S_Y) + b\ln\left(S_Y + \frac{abI-S_Y}{ab+1}\right)\end{eqnarray*}$$

可以改写为

$$\begin{eqnarray*} \max_{S_Y \geq 0} & & \ln(I - S_Y) + b\ln\left(I+S_Y\right) + b \ln\left(\frac{ab}{ab+1}\right)\end{eqnarray*}$$

解决它我们得到

$$S_Y^* = \max\left(\frac{(b-1)I}{b+1}, 0\right)$$

由于， $b \in (0, 1)$

$$S_Y^* = 0$$

因此，

$$T_X^* = \frac{abI}{ab + 1}$$