经济理论中的拓扑概念

问题：1960年代后的数学在微观经济学中的主要或系统的应用是什么？

例如，在19世纪后期，费舍尔首先使用吉布斯的数学思想来构建现代效用理论。在20世纪，Mas-Colell结合了拓扑思想来研究一般均衡。那20世纪末，21世纪初呢？

例如，考虑有向图理论，测度理论，拓扑，范畴理论和现代同源性或同调性，主题方法，功能集成等。

注1：不包括模型的计量经济学/统计学。唯一使用的现代数学是随机游走理论，而遍历问题是通过复杂分析解决的。RW和EP并非特定于经济学。

任何适当的经济学出版物都是答案。其中还包括在非严格经济学期刊上发表的论文，例如《数学心理学杂志》。

注2：是的，我知道，这种类型的作品很少见（不要与晦涩难懂的事物相提并论：其中一些是众所周知的）。这就是在发布此类参考文献时容易错过的参考。因此是一个问题。

我强烈怀疑度量理论应用的新兴重要领域将是近似动态编程技术。近似动态编程（在计算机科学文献中也称为“强化学习”）一直是动态编程文献在过去约10-20年中的研究方向。经济学才刚刚开始采用其中的一些进步。有关DP文学方向的示例，请参见Bertsekas的最新第4版扩展动态编程系列的，或Powell的近似DP：解决维数的诅咒。。经济学家刚刚开始直接或间接地选择其中一些工具，我怀疑它们将在未来几年中对文学产生越来越大的影响。融合这些方法的一些分析背景是拓扑和动力学系统。

经济学家对这类文献的理论贡献的一个很好的例子是Pál和Schasurski（2013），《概率一收缩的拟合值函数迭代》（此处为未修饰的版本）。仔细阅读该论文，您会发现掌握度量理论的重要性。从这个角度来看，Stachurski的《经济动力学》一书实际上是对动态编程的一个很好的阐述，其构建速度适用于多个层次的研究生/专业人士（我相信，测量​​理论在年底正式出现了，我仍在努力这些见解）。

希望这可以在某种程度上回答您的问题。恐怕“ 1960年代后的数学”一词对我来说有点模棱两可（由于我自己对数学文学史的了解不足），所以如果我完全错过了这个标记，我深表歉意！

这个评论太长了。“1960年后”似乎是任意的，非常为一个应用领域的高杆，包括微型理论。您提到的大多数主题都不会被视为当代数学。例如，测量理论始于勒贝格（Lebesgue）的论文，已有一百多年的历史了。拓扑甚至更老，并且从介绍同源组的Poincare开始。如今，他们都像微积分一样被教给本科生。（Mas-Colell等人在GE中使用的数学是分析，而不是拓扑。）

自20世纪中叶以来，推动现代数学发展到应用社区的研究计划的外部性最多是间接的。受非交换几何学，Langland程序，Poincare猜想，Baum-Connes猜想，孪生素数猜想（在这些问题上的进步，Fields奖章于1960年被授予）等观点和技术的启发。 ---可能永远不会在数学之外看到。当然，数学金融仍然是数学，但是从经济学的角度来看，这还是很不重要的。

编辑事实证明，直接解决您的问题的方法是Chichilnisky等人提出的拓扑在社会选择理论中的应用。等 这是由拓扑学家撰写的有关该主题的JET论文：

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf。

也许具有拓扑专业知识的人可以进一步发表评论。

勒布空间已用于通过连续主体对情况进行建模。请参阅http://eml.berkeley.edu/~anderson/Book.pdf以及Sun在《非标准分析为工作的数学家》一书中有关经济应用的章节。

测度理论被广泛应用于公平分配（又称“切蛋糕”）问题。请参阅经济学期刊上有关公平的许多论文。

有关特定示例，请参见Tisho Ichiishi和Adam Idzik，“可分割货物的公平分配”，JME 1999。

除了迈克尔提到的奇契尔尼斯基的著作，社会选择理论中拓扑的另一种有趣用法出现在雷德科普关于阿罗关于经济领域定理的著作中。

• Redekop，J。（1991）。社会福利在有限的经济领域发挥作用。经济理论杂志，53，396–427。
• Redekop，J。（1993a）。箭头不一致的经济领域。社会选择与福利，10，107-126。
• Redekop，J。（1993b）。某些经济偏好空间的问卷拓扑。数学经济学杂志，22，479–494。
• Redekop，J。（1993c）。社会福利在参数领域发挥作用。社会选择与福利，10，127–148。
• Redekop，J。（1995）。经济环境中的箭头定理。在西澳州Barnett，H。Moulin，M。Salles和NJ Schofield（编辑）中，《社会选择，福利和道德》（第163-185页）。剑桥：剑桥大学出版社。
• Redekop，J。（1996）。混合商品，随机和动态经济环境中的箭头定理。社会选择与福利，13，95-112。

Arrow不可能定理最初是针对一组抽象的选择进行证明的，从而允许对该选择集进行所有可能的偏好配置。Redekop（和其他人）提出的问题是：当替代品是一捆商品，并且代理商对那些商品（单调，凸，连续，自私等）具有“古典”偏好时，是否存在艾罗定理的等价物。

更确切地说，问题是在这些经济领域中是否存在满足三个Arrovian公理（无关选择的独立性，弱帕累托和非独裁统治）的社会福利功能（请参阅勒布雷顿，米歇尔和约翰·韦马克）。第十七章“经济领域的阿罗夫式社会选择理论”，《社会选择与福利手册》 2（2011）：191-299，以作好评论，该答案基于此）。

粗略地看，Redekop的工作表明，对于其中的某些经济问题，如果优惠领域承认阿罗夫的社会福利功能，那么在某种拓扑意义上，该领域必须“很小”。例如，在Redekop（1991）中，他对偏好集引入了巧妙的拓扑，他将其称为问卷拓扑，并表明，在公共物品经济中，如果偏好域接受了Arrovian社会福利功能，则该域必须是疏朗根据这种拓扑结构（即结构域的封闭不含有开集）。