什么时候能安全地谈论降低边际效用？

我听到的一件事是谈论边际效用的降低 - 这个想法是，一个商品的额外单位变得越来越没有吸引力，那个好单位已经越多。

$u(x)$$u'(x),\ u''(x)<0$$f$$(f\circ u)$$x$$(f\circ u)$$u$（但现在具有恒定的边际效用）。因此，在一个单一商品的世界中，似乎谈论边际效用递减是没有意义的。

我的问题是：考虑货物的市场。是否有正式条件可以安全地谈论减少边际效用？也就是说，是否存在一类首选项，使得每个有效的实用程序表示形式对于某些具有？$L>1$$u(\mathbf{x})$$u_{ii}(\mathbf{x})<0$$i$

另外，有一些简单的证明，对于，具有效用表示的存在对于一些必然意味着所有的公共设施的表示有？$L>1$$u_{ii}(\mathbf{x})<0$$i$$u_{ii}(\mathbf{x})<0$

“边际效用”的概念（因此减少这种概念）仅在基数效用的背景下具有意义。

假设我们在一个商品上有一个序数效用指数，这个商品有三个数量，，其中。 偏好表现良好，满足基准规律性条件，因此$u()$$q_1<q_2<q_3$$q_2-q_1 = q_3-q_2$

这是序数效用。只有排名才有意义，而不是距离。所以距离和没有行为/经济解释。如果他们不这样做，比率也不会$u(q_2) - u(q_1)$$u(q_3) - u(q_2)$

但是，作为分母的这些比率的限制将变为函数的导数的定义。因此衍生品缺乏经济/行为解释，因此比较衍生函数的两个实例不会产生任何有意义的内容。 $u()$

当然，这并不意味着的衍生物不作为数学概念存在。如果满足可微分性所需的条件，它们就可以存在。因此，人们可以问纯粹的数学问题“在哪种情况下，代表序数效用的函数具有严格的负二阶导数 ”（或多元情形的负定数Hessian），尽量不将其解释为具有经济/行为内容的“降低边际效用” ，但作为一个数学属性可能在他检查的模型中发挥一定作用。 $u()$$u()$

在这种情况下，我们知道：
1）如果偏好是凸的，则效用指数是准凹函数
2）如果偏好是严格凸的，则效用指数严格是准凹的

但准凹度是一种与凹陷不同的属性：准凹度是一种“序数”属性，因为它在函数的不断变换下得以保留。

另一方面，凹陷是一种“基数”属性，在某种意义上它不一定会在不断变化的情况下得到保留。
考虑一下这意味着什么：假设我们找到偏好的特征，使得它们可以用作为函数凹的效用指数来表示。然后我们可以找到并实现这个实用程序索引的一些增加的转换，这将消除凹陷属性。

您询问“安全”这一事实意味着您认为某些结果处于危险之中。如果您可以指定您可能想到的结果，则可以改进此答案。否则，以第一和第二福利定理为例。他们不依赖于降低边际效用。

如果你担心偏好优先于不确定性的结果（关于风险厌恶的想法等），那么回想一下，虽然没有不确定性的偏好的标准效用函数表示是唯一的，直到正的单调变换，Von Neumann-Morgenstern效用函数表示对不确定性的偏好仅在正仿射变换时才是唯一的。

编辑：额外的笔记。

效用函数的定义如下（来自Jehle and Reny的Advanced Microeconomic Theory，2011）：