规避风险会导致边际效用减少，反之亦然吗？

让 $A$是世界上可能的状态集，或者一个人可能具有的偏好。让$G(A)$ 是“赌博”或“彩票”的集合，即在 $A$。然后每个人都将对州中的州有优先的排序$A$以及在中的首选彩票订购 $G(A)$。von Neumann-Morgenstern定理指出，假设您的偏爱顺序为$G(A)$ 遵循某些合理性公理，您的偏好可以由效用函数表示 $u: A → ℝ$。（此函数在标量乘法和常数相加之前是唯一的。）这意味着对于任何两个彩票$L_1$ 和 $L_2$ 在 $G(A)$， 你比较喜欢 $L_1$ 至 $L_2$ 当且仅当 $u$ 下 $L_1$ 大于的期望值 $u$ 下 $L_2$。换句话说，您可以使效用函数的期望值最大化。

现在，仅因为使效用函数的期望值最大化，并不意味着您使诸如金钱之类的实际事物的期望值最大化。毕竟，人们常常会规避风险。他们说：“手里的鸟比丛林里的鸟还值两个”。风险规避意味着，您对赌博的重视程度低于获得的金钱的预期价值。如果我们用冯·诺伊曼-莫根斯滕效用函数表达这一概念，则通过詹森的不等式可以得出以下结果：一个人是风险厌恶的，当且仅当其效用函数是您的货币的隐函数，即您的风险厌恶程度与您的货币边际效用递减的程度相同。（请参阅本PDF的第13页。）

我的问题是，因果关系朝哪个方向发展？von Neumann-Morgenstern效用函数的值是否反映了您的偏好的强度，并且由于与富裕的自己的未来版本的偏好相比，较富裕的未来自我的偏好低估了，因此是避险情绪赚更多的钱（就像布拉德·德隆在这里建议的那样）？还是因果关系以另一种方式运行：您对风险的承受能力是否决定了效用函数的形状，从而冯·诺依曼-莫根斯滕特效用函数不能告诉您偏好的相对强度？

我想我已经从诺贝尔奖获得者约翰·C·哈桑尼（John C. Harsanyi）1994年发表的论文的摘录中找到了我的问题的答案。科学。Harsanyi首先证明了Alecos在他的回答中所证明的引理，即$u$ 是个人的vNM实用程序功能，然后 $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$当且仅当他们希望有保证的5美元而不是10美元的50％和0％的50％机会的情况下。在评论部分中，我说这不足以证明vNM实用程序功能代表了偏好强度，因为如果某个人的实际快乐和痛苦被其他一些实用程序功能准确地描述了，该怎么办？$v$，这是一个单调变换，但不是的仿射变换 $u$？在那种情况下$v$ 无法满足期望值属性，并且不能 $v(10) - v(5) = v(5) - v(0)$？

Harsanyi对这个问题有一个聪明的论点。让$L_1$ 成为保证获得5美元的彩票，让 $L_2$ 成为您有50％的机会获得10美元和50％的机会获得0美元的彩票，并让 $L_3$成为彩票，您有50％的机会获得10美元和50％的机会获得5美元。那么显然这个人更喜欢$L_3$ 二者皆是 $L_1$ 和 $L_2$。Harsanyi认为$L_3$ 优先于 $L_1$ 不如 $L_3$ 优先于 $L_2$ 当且仅当 $v(10) - v(5) < v(5) - v(0)$。那是因为在$L_3$ 与 $L_1$，则有50％的时间他们会得到5美元，而有50％的时间他们必须在10和5之间做出选择。 $L_3$ 和 $L_2$，则有50％的时间他们获得10美元，而有50％的时间他们必须在5到0之间做出选择。

现在是主笔画： $L_1$ 优先于 $L_2$ 当且仅当 $L_3$ 优先于 $L_1$ 不如 $L_3$ 优先于 $L_2$。因此，$L_1$ 优先于 $L_2$ 当且仅当 $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$。因此，我们得出一个总体结论：$u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ 当且仅当 $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$。

因此，Harasanyi得出结论，即vNM效用函数代表偏好强度。因此，我的问题的答案似乎是，在偏好强度方面，vNM效用函数中的边际效用递减反映了真正的边际效用递减，因此（假设vNM公理成立），边际效用递减确实是风险的原因。厌恶。

顺便说一句，我不知道我们是否可以确定所有功能的集合 $v$ 满足约束 $u(x) - u(y) < u(z) - u(w)$ 当且仅当 $v(x)-v(y) < v(z) -v(w)$（并且类似地大于和等于）。（编辑：我在这里在Mathematics.SE上对此进行了询问。）

效用函数是偏好的代表，传统上是根据选择来推断的。首选项位于实用程序之前。我不会称效用和偏好因果关系之间的联系，只是数学上的关系。

风险规避（风险偏好）与折现率无关，折现法衡量时间偏好。不能说风险规避是由于对未来自我的偏爱所致。

预期实用程序属性不是取决于效用函数的功能形式的属性。它的存在取决于满足某些“轴心”（将其更准确地描述为“条件”），这与人类的喜好/行为有关。可以给它们一个严格的数学表达式（很好），但是它们与首选项有关，即在指定效用函数的任何函数形式之前。让我们看看这意味着什么。OP在评论中写道

“ ...如果x，y和z是A的三个固定元素，则数量 $[u(x) - u(y)]/[u(y) - u(z)]$每个人之间（在满足vNM公理的人中）有所不同，但是在同一个人的不同vNM实用程序功能之间并没有变化。所以这个数量传达了一个人特有的东西。”

是的

引自Jehle＆Renyi（2011）“高级微观经济理论”（第3版），第127页。2页 108

“我们得出结论，效用差异的比率对于个人的偏好具有内在的含义，并且对于（弱偏好关系）的每个VNM效用表示，效用差异之比必须取相同的值。因此，VNM效用表示提供的信息远比序数信息多得多。决策者的偏好，否则，通过适当的单调转换，这样的比率可以采用许多不同的值。”

在引号之前的示例中，他们表明

$$\frac {[u(x) - u(y)]}{[u(y) - u(z)]} = \frac {1-\alpha}{\alpha}$$

哪里 $\alpha$是反映我们正在建模的偏好的概率。再次报价（第107页）

“请注意，概率数 $\alpha$由决策者的偏好决定并反映出来。这是一个有意义的数字。不能在不改变与之关联的首选项的情况下将其加倍，对其添加常量或对其进行任何转换。”

和 $(1-\alpha)/\alpha$是赔率（不是“赔率”）。

因此，您在这里：vNM实用程序功能与可以描述一个人的偏好的几率相关。

附录
在与OP进行了有趣但漫长的意见交流之后，我决定通过一个示例来增强此答案，以表明在我们正在讨论的特定偏好理论的背景下，“偏好强度“（如此处非正式讨论的那样）不能与“对风险的态度”相分离-它们有着千丝万缕的联系。

假设一个人宣称（因为他有一切权利）：“我的偏好是单调的，我宁愿多一点也不少。此外，接下来的五欧元将给我与之后的五欧元完全相同的效用”。请注意，这是个人讲话，我们不能通过实用程序是否可以是基数等来质疑他。为方便起见，从零开始，我们将其表示为

$$u(10) - u(5) = u(5) - u(0) \implies u(5) = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag {1}$$

在与OP的讨论中，这是关于“偏好强度”的陈述。

接下来，我们向该个人提供以下选择：他可以选择 $5$ 欧元，否则他可以参加赌博 $G$ 他会去哪里 $0$ 欧元可能性 $1/2$ 要么 $10$ 欧元可能性 $1/2$。然后，个人声明他严格希望获得$5$欧元的确定性。这是一个揭示“对风险的态度”的声明。

问题：此人的偏好（如他的两个陈述所述）可以由具有期望效用属性的效用函数表示吗？

答：不可以。

证明：个人在第二句话中透露，赌博的确定性等同$CE_G$ 严格小于 $5$ 欧元：

因此，我们有

$$E[u(G)] = u(CE_G) < u(5) \tag{2}$$

现在，要保留Expected Utility属性，必须这样

$$u[G;p(G)] = E[u(G)] = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag{3}$$

由于 $(2)$ （表示个人对风险的态度），我们认为

$$(2), (3) \implies \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) < u(5) \tag {4}$$

但这矛盾 $(1)$，表示个人的“偏好强度”。

因此，我们得出结论，上述陈述描述了其偏好的个人不能由具有期望效用属性的效用函数表示。

换句话说，要保留“预期效用”属性，就不能将“对风险的态度”与“偏好强度”区分开。如果个人宣称他对$5$ 某些欧元和赌博 $G$，那么他的偏好可以通过具有EU属性的效用函数来表示。但是为了实现这一目标，我们必须使“对风险的态度”与“偏好强度”“保持一致”。