垄断对什么需求功能最有害？

考虑边际成本为零的公司。如果免费提供产品，则所有需求都将得到满足，社会福利将以最大可能的数量增加；把这种增长。$W$

但是由于该公司是垄断企业，因此它减少了需求并提高了价格，以优化其收入。现在，社会福利增加的幅度较小，例如，$V$。

将相对福利损失（失重损失）定义为： $W/V$。该比率取决于需求函数的形状。所以我的问题是：这个比率是有界的，还是可以任意大？特别是：

• 如果是有界的，那么对于什么需求函数最大化？$W/V$
• 如果是无限的，那么对于哪个需求函数族，它可以任意大？$W/V$

这是我到目前为止尝试过的。令为消费者的边际效用函数（这也是逆需求函数）。假定它是有限的，平滑的，单调递减的，并且缩放到域。令为其反导数。然后：$u(x)$$x\in[0,1]$$U(x)$

• $W = U(1)-U(0)$，下的总面积。$u$
• $V = U(x_m)-U(0)$，其中是垄断产生的数量。除“失重”部分外，这是下的区域。$x_m$$u$
• $x_m = \arg \max (x \cdot u(x))$ =使生产者的收入最大化的数量（标记的矩形）。
• $x_m$通常可以使用一阶条件计算：。$u(x_m) = -x_m u'(x_m)$

为了了解行为，我尝试了一些函数系列。$W/V$

令，其中是一个参数。然后：$u(x)=(1-x)^{t-1}$$t>1$

• $U(x)=-(1-x)^{t}/t$。
• 一阶条件为：。$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = 1/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t$
• $W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}]$

当， ，因此对于这个族，是有界的。$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

但是其他家庭怎么办？这是另一个示例：

令，其中是一个参数。然后：$u(x)=e^{-t x}$$t>0$

• $U(x)=-e^{-t x}/t$。
• 一阶条件为：。$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t$
• $W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1})$

当，再次，因此这里再次有界。$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

第三个例子，我必须用数字来解决：

令，其中是一个参数。然后：$u(x)=\ln(a-x)$$a>2$

• $U(x)=-(a-x)log(a-x)-x$。
• 一阶条件为：。使用这个desmos图，我发现。当然，该解决方案仅在。否则，我们得到并且没有自重损失。$x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m)$$x_m \approx 0.55(a-1)$$0.55(a-1)\leq 1$$x_m=1$
• 使用同一张图，我发现随减小，因此其最高值为，约为1.3。$W/V$$a$$a=2$

是否存在可以无限增长的另一组有限函数？$W/V$

需求曲线应出现任意大的比率

$P=\begin{cases} \frac{1}{Q} & \text{if } Q>1 \\ 2-Q & \text{if } Q\leq 1 \\ \end{cases}$。

的垄断价格，但是的消费者剩余是无限的，因为需求曲线下的区域包含。$P=1$$P=0$$\int_1^\infty \frac{1}{Q}dQ=\infty$