多产品公司的最大化问题

我现在正在阅读考威尔自己的“微观经济学：原理与分析”一书。我对多产品公司的部分感兴趣，但我对利润功能的使用感到困惑。具体来说，关于如何为最大化问题提出目标。这里有两个商品$x$和$y$，两个因子$k$和$l$以及两个Cobb-Douglas生产函数的例子。

$$\begin{equation} \begin{array}{l} \text{Max}\quad \pi=p_{x}q_{x}+p_{y}q_{y}-w(l_{x}+l_{y})-v(k_{x}+k_{y}) \\ \text{subject to:} \\ q_{x}\leq k_{x}^{\alpha}l_{x}^{\beta} \\ q_{y}\leq k_{y}^{\gamma}l_{y}^{\delta} \\ L=l_{x}+l_{y} \\ K=k_{x}+l_{y} \end{array} \end{equation}$$

我提出这个问题了吗？一阶条件如何？

“一阶条件如何”的问题对我来说似乎很不清楚，我正在提供一个查找和编写它们的设置，同时解释了容易挣扎的Kuhn-Tucker条件。

虽然我们试图避免泄露基本的学习问题答案，但这是一个没有答案的正面投票问题，我仍然认为这些问题对未来的用户有价值。足够的时间也已经过去，如果这是意图，那么没有帮助某人通过课程的风险。

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通常在生产函数是约束的成本最小化问题中，存在设定的数量，然后导致相对于此的成本最小化。在这个利润最大化问题中，您有两种商品所需的最低生产量，我觉得这很有意思。

我们可以注意到目标函数（利润）是线性的，因此是凹的和可微的。约束更有趣，因为Cobb-Douglas形式不一定是凹的，即当指数总和大于1.所以你可以问自己什么时候约束是凸的（它们肯定是可微的）。这些想法与最佳的充分条件有关。Weierstrass定理存在一种解决方案（约束是紧凑的，目标函数是连续的）。

要查看第一个订单必要条件，我们可以省略您的最后两个等式，因为它们不添加任何内容。我们采取：

$$\begin{equation} \begin{array}{l} \max_{q_{x}, q_{y}, l_{x}, l_{y}, k_{x}, l_{x}} \quad p_{x}q_{x}+p_{y}q_{y}-w(l_{x}+l_{y})-v(k_{x}+k_{y}) \\ \text{s.t.} \\ q_{x} - k_{x}^{\alpha}l_{x}^{\beta} \leq 0 \\ q_{y} - k_{y}^{\gamma}l_{y}^{\delta} \leq 0 \\ \end{array} \end{equation}$$

形成拉格朗日：

$$\max \quad \mathscr{L} = p_{x}q_{x}+p_{y}q_{y}-w(l_{x}+l_{y})-v(k_{x}+k_{y}) - \mu_x (q_{x} - k_{x}^{\alpha}l_{x}^{\beta}) - \mu_y (q_{y} - k_{y}^{\gamma}l_{y}^{\delta})$$

（注意拉格朗日乘数前面的符号）

然后，代替乘法器的导数，我们有补充松弛条件的约束。我们也采取其他约束。

$$\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \ ( \cdot )} \leq 0 \quad ; \quad ( \cdot ) \geq 0 \quad \forall ( \cdot )$$ $$\text{constraint} \quad ; \quad \mu_{(\cdot)} \geq 0$$

从那里你可以继续解决系统，但你可能会发现自己处于一个奇怪的地方，因为我们无法建立独特性。