CES生产函数

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在使用形式的CES生产函数 $f(x_1,x_2)=(x_1^\rho+x_2^\rho)^{1/\rho}$ ，我们总是假设。我们为什么要做出这个假设？我知道如果，生产函数将不再是凹面的（因此生产集将不会是凸面的），但这对利润和成本函数意味着什么呢？ $\rho\leq1$ $\rho>1$

— 谢尔·阿富汗
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ρ

$\rho$ 大于1将导致转角解，其中仅选择一个输入为正数。由于多产品生产功能的重点通常是对实际使用两个输入的情况进行建模，因此这是不受欢迎的功能。

— 2015年

会有最大利润问题的解决方案吗？

— Sher Afghan

@ SherAfghan，

线性函数

ρ = 1

$\rho = 1$ 似乎不在 CES系列中，因为它的替代弹性不是恒定的。

— garej

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的问题在于，这意味着因子的边际乘积不是在减小（）或常数（）而是在增加，这是一个奇怪的假设。这样的函数会产生凹入的等价物，并可能导致仅使用一个因子（如BKay所说）。 $\rho>1$ $\rho<1$ $\rho=1$

与任何通用CES一样，因子的边际乘积为 $x_i$

M P_{i} = {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ}

$MP_i = \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}$

经过重新排列后，该MP相对于的导数为 $x_i$

(ρ - 1) {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ} (\frac{x_{- i}}{x_{i} y^{ρ}})

$(\rho-1) \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}\left(\frac{x_{-i}}{x_iy^{\rho}}\right)$

对于，此表达式为正，这意味着当使用更多因子时，该因子的生产率会提高。 $\rho>1$

关于等价物，可以通过将生产函数重写为来找到它们。在通用CES中，这是 $x_2=g(y,x_1)$

x_{2} = {(y^{ρ} - x_{1}^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$x_2 = \left(y^{\rho} - x_1^{\rho}\right)^\frac{1}{\rho}$

在的情况下，它们是线性的；在Cobb-Douglas的情况下，它们是凸的（其中上面的函数是 $\rho=1$ ，一个双曲线），在的情况下是凹的。例如，选择，您将拥有： $x_2=\frac{y}{x_1}$ $\rho>1$ $\rho=2$

x_{2}^{2} = y^{2} - x_{1}^{2}

$x_2^2 = y^2 - x_1^2$

该圆的中心的式在 $(0,0)$ ，具有半径。通常情况下，生产理论只有有趣的是，它为您提供了不同程度的凹陷等产量线。下图显示了一个示例，对于给定的要素价格比率，有一个边角解（A点）： $y$ $x_i \geq 0$ $y$

$\hskip3cm$

（此处用于复制图形的代码）

— Luchonacho
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这是我对这个问题的尝试，它不完整和/或不正确，因此请帮助提出建议，我将对此进行编辑。

成本最小化

由于不是准凹的，因此相应的等量线将不会是原点的凸形（即，它们的上轮廓线不会是凸形的）。在这种情况下，企业应采用角点解，条件因子的要求为： $f(x_1,x_2)$

x_{1} (p, y) = q^{2} a n d x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} < w_{2}

$x_1(p,y)=q^2 \quad and \quad x_2(p,y)=0 \quad\quad if\quad w_1< w_2$

x_{1} (p, y) = 0 a n d x_{2} (p, y) = q^{2} i f w_{1} > w_{2}

$x_1(p,y)=0 \quad and \quad x_2(p,y)=q^2 \quad\quad if\quad w_1>w_2$

x_{1} (p, y) = 0, x_{2} (p, y) = q^{2} o r x_{1} (p, y) = q^{2}, x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} = w_{2}

$x_1(p,y)=0 , x_2(p,y)=q^2 \quad or \quad x_1(p,y)=q^2 , x_2(p,y)=0 \quad if\quad w_1=w_2$ 这些条件因子需求给出了成本函数；

利润最大化

C (w, y) = m i n [w_{1} q^{2}, w_{2} q^{2}]

$C(w,y)=min[w_1q^2,w_2q^2]$

我真的很困惑。即使生产函数是凸的，但规模收益仍然没有增加。 $f(tx_1,tx_2)<tf(x_1,x_2) \quad\forall \quad t>1$ 。那就是解决方案将仍然存在（对吗？）。那么生产函数的非凹性如何影响利润最大化的解决方案？

— 谢尔·阿富汗
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您的困惑很容易弄清楚：请记住，凸偏好并不意味着凹效用函数。它们仅暗示上部轮廓集是凸的。类似地，对于所讨论的生产函数，考虑

。

(x_{1}^{ρ} + x_{2}^{ρ})^{θ / ρ}

$(x_1^{\rho}+x_2^{\rho})^{\theta/\rho}$

θ

$\theta$ 控制该函数是凹面还是凸面，

控制轮廓集是否凸面。

ρ

$\rho$

— HRSE

我不明白，凹函数意味着上轮廓集是凸的。

ρ < 1

$\rho<1$

θ

$\theta$

ρ \to \infty

$\rho\rightarrow \infty$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

θ

$\theta$

ρ > 1

$\rho>1$

θ

$\theta$

θ \leq 1

$\theta \leq 1$

θ > 1

$\theta >1$

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利润最大化问题的解决方案是否存在还取决于市场结构。垄断者的利润最大化问题通常仍然得到很好的定义，而对于采用价格的公司而言，情况并非如此。

— HRSE

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$\rho \geq 1$ 的情况下（价格修正）。

$r$ $w$ 。

$w=1$ $\pi(q)$ $p>0$ $\rho=2$

π (q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^{2} - 1)^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^2 - 1)^{1/2}$

$\pi'' >0$

要在更简单的示例（不是从CES派生）中看到相同的效果，请考虑以下事项：

π (q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1/2}$

$\pi'' = (1/2)q^{-3/2} > 0$

$q^{1/2}$ $q^2$ $p=1.7$

— 加雷
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