如何将实际资本回报率与债券利率联系起来：拉格朗日

假设家庭资源约束方程如下：其中是价格在时间，是一个债券数量的价格，是债券数量，是投资，

P_{t} C_{t} + Q_{t} B_{t} + P_{t} I_{t} \leq W_{t} L_{t} + R_{t} K_{t} + B_{t - 1} + D_{t}

$P_tC_t + Q_tB_t+ P_tI_t \leq W_tL_t+R_tK_t+B_{t-1}+D_t$

P_{t}

$P_t$

t

$t$

Q_{t}

$Q_t$

B_{t}

$B_t$

I_{t}

$I_t$

W_{t}

$W_t$ 是工资，

是劳动量，

是名义资本出租率，

是资本领带

，

是红利。

L_{t}

$L_t$

R_{t}

$R_t$

K_{t}

$K_t$

t

$t$

D_{t}

$D_t$

考虑到这拉格朗日在： $t=0$ $E_0 \sum_{t=0}^{\infty}\beta^t U(C_t,L_t) - \lambda_t[P_tC_t + Q_tB_t+ P_tI_t - (W_tL_t+R_tK_t+B_{t-1}+D_t)]$

服用拉格朗日方面的偏导数来其中似乎产生： $K_{t+1}$ $K_{t+1} = (1-\delta)K_t + I_t$ （下降的期望符号，但应该在那里）

\frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = \frac{R_{t + 1}}{P_{t + 1}}

$\frac{\lambda_t}{\lambda_{t+1}} = \frac{R_{t+1}}{P_{t+1}}$

并将拉格朗日方面的偏导数转换为： $B_t$

\frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = \frac{P_{t}}{P_{t + 1}} \frac{1}{Q_{t}}

$\frac{\lambda_t}{\lambda_{t+1}} = \frac{P_t}{P_{t+1}}\frac{1}{Q_t}$

等于这两个，

R_{t + 1} = \frac{P_{t}}{Q_{t}}

$R_{t+1} = \frac{P_t}{Q_t}$

$-\log Q_t = i_t$

\hat{R_{t + 1}} = \hat{P_{t}} - \hat{Q_{t}} = \hat{P_{t}} + i_{t}

$\hat{R_{t+1}} = \hat{P_t} - \hat{Q_t} = \hat{P_t}+i_t$

\hat{X} = \log X

$\hat{X} = \log X$

这对我来说似乎不是一个正确的公式，我一定是犯了一些错误。我在这做错了什么？

— 德塞夫勒
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$K_t$ $t$ $B_{t}$ $B_{t-1}$ $t$ $Q$

另外，我建议以“正常形式”（如微观所述）编写约束，即约束为“高于或等于零”。

让我们试试这个，直到某一点。

Λ = \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} [U (C_{t}, L_{t}) + λ_{t} (W_{t} L_{t} + R_{t} K_{t} + B_{t} + D_{t} - (P_{t} C_{t} + Q_{t + 1} B_{t + 1} + P_{t} I_{t}))]

$\Lambda = \sum_{t=0}^{\infty}\beta^t \Big[U(C_t,L_t) + \lambda_t\big(W_tL_t+R_tK_t+B_{t}+D_t - (P_tC_t + Q_{t+1}B_{t+1}+ P_tI_t)\big)\Big]$

= \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} [U (C_{t}, L_{t}) + λ_{t} (W_{t} L_{t} + R_{t} K_{t} + B_{t} + D_{t} - P_{t} C_{t} - Q_{t + 1} B_{t + 1} - P_{t} [K_{t + 1} - (1 - δ) K_{t}])]

$= \sum_{t=0}^{\infty}\beta^t \Big[U(C_t,L_t)\\ + \lambda_t\big(W_tL_t+R_tK_t+B_{t}+D_t - P_tC_t - Q_{t+1}B_{t+1}- P_t\big[K_{t+1} - (1-\delta)K_t\big]\big)\Big]$

然后

\frac{\partial Λ}{\partial K_{t + 1}} = 0 ⟹ - β^{t} λ_{t} P_{t} + β^{t + 1} λ_{t + 1} [(1 - δ) P_{t + 1} + R_{t + 1}] = 0

$\frac{\partial \Lambda}{\partial K_{t+1}} = 0 \implies -\beta^{t}\lambda_t P_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}[(1-\delta)P_{t+1} +R_{t+1}] =0$

和

\frac{\partial Λ}{\partial B_{t + 1}} = 0 ⟹ - β^{t} λ_{t} Q_{t + 1} + β^{t + 1} λ_{t + 1} = 0

$\frac{\partial \Lambda}{\partial B_{t+1}} = 0 \implies -\beta^{t}\lambda_t Q_{t+1} + \beta^{t+1}\lambda_{t+1} =0$

等同于我们得到

\frac{[(1 - δ) P_{t + 1} + R_{t + 1}]}{P_{t}} = \frac{1}{Q_{t + 1}}

$\frac {[(1-\delta)P_{t+1} +R_{t+1}]}{P_t} = \frac 1{Q_{t+1}}$

$R_{t+1}$ $P_{t+1}$ $r_{t+1}\equiv R_{t+1}/P_{t+1}$

\frac{[(1 + (r_{t + 1} - δ)] P_{t + 1}}{P_{t}} = \frac{1}{Q_{t + 1}}

$\frac {[(1+(r_{t+1} -\delta)]P_{t+1}}{P_t} = \frac 1{Q_{t+1}}$

$t+1$

— Alecos Papadopoulos
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