证明是前向布朗

定义和内容：

考虑一个经过过滤的概率空间，其中 $(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$

$T > 0$ $T > 0$
$P = \tilde{P}$ $\mathbb P = \tilde{\mathbb P}$

$F_{t} = F_{t}^{W} = F_{t}^{\tilde{W}}$ $\mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}}$

其中是标准的布朗运动。 $W = \tilde{W} = \{\tilde{W_t}\}_{t \in [0,T]} = \{{W_t}\}_{t \in [0,T]}$ $\mathbb P=\tilde{\mathbb P}$

考虑其中 $M = \{M_t\}_{t \in [0,T]}$

M_{t} := \frac{\exp (- \int_{0}^{t} r_{s} d s)}{P (0, t)}

$M_t := \frac{\exp(-\int_0^t r_s ds)}{P(0,t)}$

定义前向度量： $\mathbb Q$

\frac{d Q}{d P} := M_{T} = \frac{\exp (- \int_{0}^{T} r_{s} d s)}{P (0, T)}

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} := M_T = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)}$

其中是短期利率过程，是时刻t的债券价格。 $\{r_t\}_{t \in [0,T]}$ $\{P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$

可以示出的是是鞅债券价格动态如下： $\{\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$ $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

\frac{d P (t, T)}{P (t, T)} = r_{t} d t + ξ_{t} d W_{t}

$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t$

哪里

$r_t$ 和是 -adapted $\xi_t$ $\mathscr F_t$
$\xi_t$ 满足Novikov的条件（我不认为应该特别代表任何东西） $\xi_t$

问题：

定义随机过程 st $W^{\mathbb Q} = (W_t^{\mathbb Q})_{t\in[0,T]}$

$W_{t}^{Q} := W_{t} - \int_{0}^{t} ξ_{s} d s$ $W_t^{\mathbb Q} := W_t - \int_0^t \xi_s ds$
使用吉尔萨诺夫定理证明：

$W_{t}^{Q} is standard Q -Brownian motion.$ $W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb Q \ \text{-Brownian motion.}$

我试过的

由于满足Novikov的条件， $\xi_t$

\int_{0}^{T} ξ_{t} d t < \infty a.s. \to \int_{0}^{T} - ξ_{t} d t < \infty a.s.

$\int_0^T \xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} \ \to \ \int_0^T -\xi_t dt < \infty \ \text{a.s.}$

\to L_{t} := \exp (- \int_{0}^{t} (- ξ_{s} d W_{s}) - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} ξ_{s}^{2} d s)

$\to L_t := \exp(-\int_0^t (-\xi_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \xi_s^2 ds)$

是。 $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

根据吉尔萨诺夫定理，

W_{t}^{Q} is standard P^{*} -Brownian motion, where

$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb P^{*} \ \text{-Brownian motion, where}$

\frac{d P^{*}}{d P} := L_{T}

$\frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} := L_T$

我想如果我们能证明是标准布朗运动， $W_t^{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$

L_{T} = \frac{d Q}{d P}

$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$

我丢了笔记，但我想我可以用伊藤引理证明

$d L_{t} = L_{t} ξ_{t} d W_{t}$ $dL_t = L_t \xi_t dW_t$
$d M_{t} = M_{t} ξ_{t} d W_{t}$ $dM_t = M_t \xi_t dW_t$

从那些我推断

d (\ln L_{t}) = d (\ln M_{t})

$d(\ln L_t) = d(\ln M_t)$

\to L_{t} = M_{t}

$\to L_t = M_t$

\to L_{T} = M_{T}

$\to L_T = M_T$

QED

那正确吗？

— BCLC
source

为什么债券价格被短期利率打折成为P-martingale？您的债券价格是广义GBM。将其写为一个Ito扩散的指数，应该看到以短利率折现并不能解决Ito校正问题。

— 迈克尔”

@Michael您确定您是说P在风险中立而不是P在现实世界中吗？

— BCLC

好的我明白了。如果将的SDE为Ito指数，然后代入，则会看到Girsanov定理立即适用。另外，在Ito设置中和不相同。在您的论点中，应该调用SDE强解决方案的唯一性。

P_{t}

$P_t$

M_{T}

$M_T$

\frac{d L}{L}

$\frac{dL}{L}$

d \ln L

$d \ln L$

— 迈克尔（Michael）

@迈克尔谢谢！争论的哪一部分呢？

— BCLC

（通过更紧密地使用问题和符号，该表述在几个地方似乎是有问题的。）

一般事实

令为关于过滤标准布朗运动。考虑由定义的。通常，是超级。在某些条件下（例如诺维科夫条件），是is，可以通过定义概率测度在，过程是关于过滤的标准布朗运动 $W$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ $(L_t)_{t \in [0,T]}$

\frac{d L_{t}}{L_{t}} = ψ_{t} d L_{t}, L_{0} = 1.

$\frac{dL_t}{L_t} = \psi_t dL_t, \; L_0 = 1.$

L_{t} = e^{\int_{0}^{t} ψ_{s} d W_{s} - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} ψ_{s}^{2} d s}

$L_t = e^{\int_0^t \psi_s dW_s - \frac12 \int_0^t \psi^2_s ds }$

L_{t}

$L_t$

Q

$\mathbb{Q}$

\frac{d Q}{d P} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t}^{Q} = W_{t} - \int_{0}^{t} ψ_{s} d s

$W^{\mathbb{Q}}_t = W_t - \int_0^t \psi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ 。

非正式说明为何如此。考虑。根据贝叶斯定理，当且仅当是 -martingale时，是 -martingale。以来 $W^{\lambda}_t = W_t + \int_0^t \lambda_s ds$ $W^{\lambda}$ $\mathbb{Q}$ $L W^{\lambda}$ $\mathbb{P}$

\begin{aligned} d L W^{λ} & = L d W^{λ} + W^{λ} d L + d L d W^{λ} \\ = L (ψ + λ) d t + (\dots) d W, \end{aligned}

$\begin{align*} d L W^{\lambda} &= L d W^{\lambda} + W^{\lambda} dL + dL dW^{\lambda}\\ &= L (\psi + \lambda) dt + (\cdots) dW, \end{align*}$

我们必须具有，才能成为布朗运动。

λ = - ψ

$\lambda = - \psi$

W^{λ}

$W^{\lambda}$

Q

$\mathbb{Q}$

折扣价作为概率密度

隐含的假设是在风险中性度量下，有一个标的资产的价格遵循。短利率和波动率过程以足够的规律性进行调整，因此存在积分。（要做到这一点，在风险中性度量下由产生的布朗滤波必须与在物理度量下由物理布朗运动产生的布朗滤波相同，以便适用Mar表示法。 $S_t$

\frac{d S_{t}}{S_{t}} = r_{t} d t + σ_{t} d W_{t}

$\frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t$

P

$\mathbb{P}$

(r_{t})

$(r_t)$

σ_{t}

$\sigma_t$

(W_{t})

$(W_t)$

在这种布朗过滤条件下，对于任何时间索赔，其价格的风险中性动态均采用该过程是收益的波动率，在有形和风险中性指标下均如此。 $T$ $X_T$ $X_t$

\frac{d X_{t}}{X_{t}} = r_{t} d t + ψ_{t} d W_{t} .

$\frac{d X_t}{X_t} = r_t dt + \psi_t dW_t.$

(ψ_{t})

$(\psi_t)$

X_{t}

$X_t$

换句话说，折价的风险中性动态由（任何债权的折价必须遵循under零风险下的mar，不得套利。） $M_t = e^{- \int_0^t r_s ds} X_t$

\frac{d M_{t}}{M_{t}} = ψ_{t} d W_{t}, M_{0} = X_{0} .

$\frac{d M_t}{M_t} = \psi_t dW_t, \, M_0 = X_0.$

T

$T$

如果诺维科夫条件成立，则定义Radon-Nikodym密度在，过程是关于过滤的标准布朗运动。 $L_T = \frac{M_T}{M_0}$

\frac{d Q}{d P} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t} - \int_{0}^{t} ψ_{s} d s

$W_t - \int_0^t \psi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

换句话说，该折扣回报任何的 -claim，由它的归一化时间价，可以被认为是一个度量的氡Nikodym导密度。在，由于收益的波动性而给风险中性的布朗运动带来了漂移。 $e^{- \int_0^T r_s ds} X_T$ $T$ $X_T$ $0$ $X_0$ $\mathbb Q$ $\mathbb Q$ $\frac{d X_t}{X_t}$

如果是交易资产的价格，则是 -martingale。这意味着是 -martingale。 $(Y_t)$ $e^{- \int_0^t r_s ds} Y_t$ $\mathbb P$ $(\frac{Y_t}{X_t})$ $\mathbb Q$

向前措施

远期措施是上述情况的特例，其中是零息票债券在到期的时间价格。特别地，。在表达式是零息债券收益率的波动性。 $X_t = P(t,T)$ $t$ $T$ $X_T = P(T,T) = 1$

\frac{d P (t, T)}{P (t, T)} = r_{t} d t + ξ_{t} d W_{t},

$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t,$

ξ_{t}

$\xi_t$

（如果是确定性的，则，并且正向度量与风险中性度量相同。仅当短期利率为随机利率时，零息债券才是风险资产。） $(r_t)$ $\xi = 0$

相应的度量由由于因此从上面的一般讨论可以得出，在，过程是关于过滤的标准布朗运动。。 $\mathbb Q$

\frac{d Q}{d P} = \frac{e^{- \int_{0}^{T} r_{s} d s} P (T, T)}{P (0, T)} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{e^{- \int_0^T r_s ds} P(T,T)}{P(0,T)} = L_T.$

\frac{d L_{t}}{L_{t}} = ξ_{t} d W_{t},

$\frac{d L_t}{L_t} = \xi_t dW_t,$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t} - \int_{0}^{t} ξ_{s} d s

$W_t - \int_0^t \xi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

（在发布的问题中，the的应该为。这是under下的under折资产价格风险中性措施。） $M_t$ $\frac{e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)}{P(0,T)}$

经验评论

正向测量具有的远期价格形成的财产 -martingale。 $\mathbb Q$ $\mathbb Q$

假设是在到期的输入的远期合约的远期价格。通过无套利（在这种情况下为即期平价），，折现后为 -martingale。所以是 -martingale。 $F(t,T)$ $t$ $T$

F (t, T) P (t, T) = S_{t}

$F(t,T) P(t,T) = S_t$

P

$\mathbb P$

F (t, T)

$F(t,T)$

Q

$\mathbb Q$

由于远期价格相对于反向移动。前向度量将概率质量转移到零息票债券的折现收益高，以抵消的运动并保持（有条件的）期望常数的方式。

F (t, T) = \frac{S_{t}}{P (t, T)}

$F(t,T) = \frac{S_t}{P(t,T)}$

P (t, T)

$P(t,T)$

\frac{d (e^{- \int_{0}^{t} r_{s} d s} P (t, T))}{e^{- \int_{0}^{t} r_{s} d s} P (t, T)} = ξ_{t} d W_{t},

$\frac{d \left( e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T) \right)}{ e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)} = \xi_t dW_t,$

P (t, T)

$P(t,T)$

— 麦可
source

谢谢。我对吗？或不？

— BCLC

好吧，你的论点有一些空白。1. Novikov的条件未正确引用。2.预期的RN密度过程定义不正确。3.使用Ito的引理后，记录日志就可以了，但是结果已经从SDE解决方案的唯一性得出。

M_{t}

$M_t$

— Michael

谢谢迈克尔！

— BCLC