Questions tagged «hhl-algorithm»

请注意词汇表：这个问题中使用了“哈密尔顿”一词来表示厄米矩阵。 HHL算法似乎是量子计算领域研究的活跃课题，主要是因为它解决了一个非常重要的问题，即寻找线性方程组的解。 根据原始论文《量子算法求解线性方程组》（Harrow，Hassidim和Lloyd，2009年）以及在此站点上提出的一些问题 量子相位估计和HHL算法-是否需要特征值知识？ 线性方程组的量子算法（HHL09）：步骤2-初始状态的准备和| b ⟩|Ψ0⟩|Ψ0⟩\vert \Psi_0 \rangle|b⟩|b⟩\vert b \rangle HHL算法仅限于某些特定情况。这是HHL算法特征的摘要（可能不完整！）： HHL算法 HHL算法求解方程的线性系统。 X ⟩ = | b ⟩ 具有以下限制：A|x⟩=|b⟩A|x⟩=|b⟩A \vert x \rangle = \vert b \rangle 局限性：一种AA 必须是Hermitian（并且只有Hermitian矩阵有效，请参见聊天室中的讨论）。一种AA 的特征值需要是在 [ 0 ，1 ）（见量子相位估计和HHL算法- ？所需特征值的知识）一种AA[ 0 ，1 ）[0,1)[0,1) 需要有效地实施。目前，满足此属性的唯一已知矩阵为： Ë我甲吨eiAte^{iAt} 局部哈密尔顿（参见Universal Quantum Simulators（Lloyd，1996））。 稀疏的哈密尔顿（见绝热量子态生成和统计零知识（Aharonov＆Ta-Shma，2003））。sss 限制：| b ⟩|b⟩\vert b \rangle …

17 algorithm  hhl-algorithm  applications 

一段时间以来，我一直试图绕过著名的（？）论文《线性方程组的量子算法》（Harrow，Hassidim和Lloyd，2009）（通常被称为HHL09算法论文）。 在第一页上，他们说： 我们在这里草绘算法的基本概念，然后在下一节中对其进行详细讨论。给定一个埃尔米特矩阵 ，以及一个单位矢量，假设我们想找到 满足。（我们将讨论后面的效率问题，以及如何放宽对 和的假设。）首先，该算法将 为量子状态。接下来，我们使用哈密顿模拟[3，4]的技术将 应用于A → b → x A → x = → b A → b → b | b ⟩ = Σ Ñ 我= 1 b 我| 我⟩ ê 我甲吨 | b 我 ⟩ Ť 甲| b ⟩ 甲λ Ĵ Σ Ĵ = Ñ …

11 algorithm  hhl-algorithm  phase-estimation 

的量子相位估计算法（QPE）计算相关联于一个量子门的一个给定的特征向量特征值的近似值。UUU 形式上，令为的特征向量，QPE允许我们找到，即的最佳位近似值，从而使并且 |ψ⟩|ψ⟩\left|\psi\right>UUU|θ~⟩|θ~⟩\vert\tilde\theta\ranglemmm⌊2mθ⌋⌊2mθ⌋\lfloor2^m\theta\rfloorθ∈[0,1)θ∈[0,1)\theta \in [0,1)U|ψ⟩=e2πiθ|ψ⟩.U|ψ⟩=e2πiθ|ψ⟩.U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle. 的HHL算法（原纸）作为输入的矩阵满足和量子态并计算编码线性系统的解。AAAeiAt is unitary eiAt is unitary e^{iAt} \text{ is unitary } |b⟩|b⟩\vert b \rangle|x⟩|x⟩\vert x \rangleAx=bAx=bAx = b 备注：每个Hermitian矩阵都说明上的条件。AAA 为此，HHL算法在表示的量子门上使用QPE 。多亏线性代数结果，我们知道如果是的特征值，那么是的特征值。量子线性系统算法中也说明了这一结果：底漆（Dervovic，Herbster，Mountney，Severini，Usher＆Wossnig，2018年）（第29页，方程式68和69之间）。U=eiAtU=eiAtU = e^{iAt}{λj}j{λj}j\left\{\lambda_j\right\}_jAAA{eiλjt}j{eiλjt}j\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_jUUU 借助QPE，HLL算法的第一步将尝试估算使得。这使我们得出方程 即即 通过分析条件和，得出的结论是，如果（即），则相位估计算法无法预测正确的特征值。θ∈[0,1)θ∈[0,1)\theta \in [0,1)ei2πθ=eiλjtei2πθ=eiλjte^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}2πθ=λjt+2kπ,k∈Z, θ∈[0,1)2πθ=λjt+2kπ,k∈Z, θ∈[0,1)2\pi \theta = \lambda_j t + …

10 algorithm  hhl-algorithm  phase-estimation 

这是用于线性方程组（HHL09）的Quantum算法的延续：步骤2-什么是|Ψ0⟩|Ψ0⟩|\Psi_0\rangle？ 在《线性方程组的量子算法》（Harrow，Hassidim＆Lloyd，2009）一书中，没有给出该算法实际实现的细节。状态到底如何|Ψ0⟩|Ψ0⟩|\Psi_0\rangle 和 |b⟩|b⟩|b\rangle被创建，有点像“ 黑匣子 ”（请参阅​​第2-3页）。 |Ψ0⟩=2T−−√∑τ=0T−1sinπ(τ+12)T|τ⟩|Ψ0⟩=2T∑τ=0T−1sin⁡π(τ+12)T|τ⟩|\Psi_0\rangle = \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau = 0}^{T-1}\sin \frac{\pi (\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle 和 |b⟩=∑1Nbi|i⟩|b⟩=∑1Nbi|i⟩|b\rangle = \sum_{1}^{N}b_i|i\rangle 哪里 |Ψ0⟩|Ψ0⟩|\Psi_0\rangle 是时钟寄存器的初始状态，并且 |b⟩|b⟩|b\rangle 是输入寄存器的初始状态。 （说）我想在IBM上执行他们的算法161616-qubit量子计算机。我想解决一个方程Ax=bAx=b\mathbf{Ax=b} 哪里 AA\mathbf{A} 是一个 4×44×44\times 4 带实项的厄米矩阵和 bb\mathbf{b} 是一个 4×14×14\times 1 具有实际条目的列向量。 让我们举个例子： A=⎡⎣⎢⎢⎢1234215635174671⎤⎦⎥⎥⎥A=[1234215635174671]\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & …

9 algorithm  ibm-q-experience  qiskit  hhl-algorithm 

这是方程式线性系统的量子算法（HHL09）的续集：步骤1-关于相位估计算法和方程式线性系统的量子算法（HHL09）的用法混淆：步骤1-所需的位数。 在论文中：线性方程组的量子算法（Harrow，Hassidim＆Lloyd，2009），该部分的内容 下一步是使用相位估计[5-7]在特征向量的基础上分解。用表示（或等效地，）的特征向量，而用表示对应的特征值。|b⟩|b⟩|b\rangle|uj⟩|uj⟩|u_j\rangleAAAeiAteiAte^{iAt}λjλj\lambda_j 页面上做一些有意义的我（的混乱截至出现了上面链接以前的职位阐述）。但是，下一部分，即旋转似乎有点神秘。222R(λ−1)R(λ−1)R(\lambda^{-1}) 令|Ψ0⟩:=2T−−√∑τ=0T−1sinπ(τ+12)T|τ⟩|Ψ0⟩:=2T∑τ=0T−1sin⁡π(τ+12)T|τ⟩|\Psi_0\rangle := \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle 对于一些大型。选择的系数（根据[5-7]）以最小化出现在我们的误差分析中的某个二次损失函数（有关详细信息，请参见[13]）。TTT|Ψ0⟩|Ψ0⟩|\Psi_0\rangle 接下来，我们将条件哈密顿演化应用于 ，其中。∑T−1τ=0|τ⟩⟨τ|C⊗eiAτt0/T∑τ=0T−1|τ⟩⟨τ|C⊗eiAτt0/T\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}|Ψ0⟩C⊗|b⟩|Ψ0⟩C⊗|b⟩|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\ranglet0=O(κ/ϵ)t0=O(κ/ϵ)t_0 = \mathcal{O}(\kappa/\epsilon) 问题： 1.到底是什么？什么和立场？我不知道这个巨大表达式突然来自哪里，它的用途是什么。|Ψ0⟩|Ψ0⟩|\Psi_0\rangleTTTττ\tau2T−−√∑τ=0T−1sinπ(τ+12)T|τ⟩2T∑τ=0T−1sin⁡π(τ+12)T|τ⟩\sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle 2. 在阶段估计步骤之后，我们系统的状态显然是： (∑j=1j=Nβj|uj⟩⊗|λ~j⟩)⊗|0⟩ancilla(∑j=1j=Nβj|uj⟩⊗|λ~j⟩)⊗|0⟩ancilla\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}} 这肯定不能写为即(∑j=1j=Nβj|uj⟩)⊗(∑j=1j=N|λ~j⟩)⊗|0⟩ancilla(∑j=1j=Nβj|uj⟩)⊗(∑j=1j=N|λ~j⟩)⊗|0⟩ancilla\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\right)\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}} |b⟩⊗(∑j=1j=N|λ~j⟩)⊗|0⟩ancilla|b⟩⊗(∑j=1j=N|λ~j⟩)⊗|0⟩ancilla|b\rangle\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}} 因此，很明显在第二个寄存器中不能单独使用。所以我不知道他们如何准备像 的状态！此外，这是什么中的标分别表示？|b⟩|b⟩|b\rangle|Ψ0⟩C⊗|b⟩|Ψ0⟩C⊗|b⟩|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangleCCC|Ψ0⟩C|Ψ0⟩C|\Psi_0\rangle^{C} 3.此表达式突然从哪里出现？模拟有什么用？什么是在？∑T−1τ=0|τ⟩⟨τ|C⊗eiAτt0/T∑τ=0T−1|τ⟩⟨τ|C⊗eiAτt0/T\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}κκ\kappaO(κ/ϵ)O(κ/ϵ)\mathcal{O}(\kappa/\epsilon)

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