明确的利勃罗宾逊速度界限
Lieb-Robinson边界描述了由于局部哈密顿量，效应如何在系统中传播。它们通常以 其中和是在哈密顿量所在的晶格上以距离隔开的算子在该点阵上具有局部（例如，最近的邻居）交互，并受某些强度。Lieb Robinson界的证明通常表明存在速度（取决于）。这对于限制这些系统中的属性通常非常有用。例如，有一些非常好的成果在这里|[A,B(t)]|≤Cevt−l,|[A,B(t)]|≤Cevt−l, \left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l}, AAABBBlllJJJvvvJJJ 关于使用最近邻哈密顿量生成GHZ状态需要多长时间。 我有过的问题是，证据充分通用的，这是很难得到什么速度实际上是一个紧密的值是对于任何给定的系统。 具体来说，想象一个由哈密顿量耦合的一维量子比特链 ，其中代表所有。在这里，和表示一个Pauli运算符，该运算符被应用于给定的qubit，而在其他各处。您能为方程式中的系统的Lieb-Robinson速度给出一个良好（即尽可能紧密）的上限。（1）？H=∑n=1NBn2Zn+∑n=1N−1Jn2(XnXn+1+YnYn+1),(1)(1)H=∑n=1NBn2Zn+∑n=1N−1Jn2(XnXn+1+YnYn+1), H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1} Jn≤JJn≤JJ_n\leq JnnnXnXnX_nYnYnY_nZnZnZ_nnnnII\mathbb{I}vvv 可以在两个不同的假设下提出此问题： 该和都在固定时间JnJnJ_nBnBnB_n 该和被允许在时间变化。JnJnJ_nBnBnB_n 前者是一个更强的假设，可能使证明更容易，而后者通常包含在利勃罗宾逊范围的陈述中。 动机 量子计算，更广泛的说是量子信息，可以归结为有趣的量子态。通过作品如这个，我们可以看到这些信息需要一定的时间量，以传播从一个地方到另外一个量子系统发生演变由于哈密顿如公式。（1），并且诸如GHZ状态或具有拓扑顺序的状态之类的量子状态需要一定的时间才能产生。当前结果显示的是比例关系，例如所需时间为。Ω(N)Ω(N)\Omega(N) 所以，比方说，我想出了一种方案，该方案以线性缩放的方式进行信息传递或生成GHZ状态等。该计划实际上有多好？如果我有一个明确的速度，我可以看到与下限相比，我的方案中缩放系数的匹配程度如何。NNN 如果我有一天想看到的是在实验室中实现的协议，那么我非常在意优化这些缩放系数，而不仅仅是广泛的缩放功能，因为我可以更快地实现协议，因此机会更少是为了让噪音散发出来并使一切混乱。 更多信息 \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}此汉密尔顿算子有一些不错的功能，我认为这些功能使计算更容易。特别是，哈密顿量具有一个基于标准基础上1的个数的子空间结构（据说是激发保持的），更好的是，乔丹-维格纳变换表明可以导出更高激发子空间的所有性质。来自1-excitation子空间。N×NN×NN\times Nhhh2N×2N2N×2N2^N\times 2^NHHH，其中 有证据表明Lieb-Robinson速度为，例如在此处和此处，但是这些都使用了接近均匀耦合的链，链的群速度为（我假设群速度与链的速度紧密相关Lieb-Robinson速度）。并不能证明所有可能的耦合强度选择都具有如此有限的速度。h=∑n=1NBn|n⟩⟨n|+∑n=1N−1Jn(|n⟩⟨n+1|+|n+1⟩⟨n|).h=∑n=1NBn|n⟩⟨n|+∑n=1N−1Jn(|n⟩⟨n+1|+|n+1⟩⟨n|). h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}). v=2Jv=2Jv=2J2 J2J2J2J 我可以进一步增加动机。考虑从链的一端开始的单个激励的时间演化，以及在短的时间之后到达链的另一端振幅。对于一阶，这是 您可以看到期望在Lieb-Robinson系统定义的“光锥”之外的指数功能，但是更重要的是，如果您想最大化该振幅，则可以设置所有|1⟩|1⟩\ket{1}|N⟩|N⟩\ket{N}δtδt\delta tδtδt\delta t⟨N|e−ihδt|1⟩=δtN−1(N−1)!∏n=1N−1Jn+O(δtN).⟨N|e−ihδt|1⟩=δtN−1(N−1)!∏n=1N−1Jn+O(δtN). \bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}). Jn=JJn=JJ_n=J。因此，在短时间内，均匀耦合的系统将导致最快速的传输。尝试进一步推动这一点，您可能会稍作犹豫，询问何时 取大的极限，并在阶乘上使用Stirling公式，得出 这表明最大速度约为。接近，但不严格（因为高阶术语不可忽略）！tN−1(N−1)!∏n=1N−1Jn∼1tN−1(N−1)!∏n=1N−1Jn∼1 \frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1 NNNetJN−1∼1,etJN−1∼1, \frac{etJ}{N-1}\sim 1, eJeJeJ \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}