Questions tagged «parabolic-pde»

让我们考虑一个平滑的初始条件和热方程在一个维度： 在开区间] 0 ，1 [，让我们假设我们想要与有限差分数值求解。∂tu=∂xxu∂tu=∂xxu \partial_t u = \partial_{xx} u]0,1[]0,1[]0,1[ 我知道，要使我的问题很好地解决，我需要赋予它和x = 1的边界条件。我知道Dirichlet或Neumann都能很好地工作。x=0x=0x=0x=1x=1x=1 如果我在第一种情况下有内部点x k = kNNN表示k=1，⋯，N，则我有N个未知数：uk=u（xk）表示k=1，⋯，N，因为u是在边界处规定的。xk=kN+1xk=kN+1x_k=\frac{k}{N+1}k=1,⋯,Nk=1,⋯,Nk=1,\cdots,NNNNuk=u(xk)uk=u(xk)u_k=u(x_k)k=1,⋯,Nk=1,⋯,Nk=1,\cdots,Nuuu 在第二种情况下真有未知数ü 0，⋯ ，ù Ñ + 1，我知道如何使用（均相）诺伊曼BC在边界来离散拉普拉斯，例如具有两个虚构点的红利x − 1和x N + 2以及等式：N+2N+2N+2u0,⋯,uN+1u0,⋯,uN+1u_0,\cdots,u_{N+1}x−1x−1x_{-1}xN+2xN+2x_{N+2} u1−u−12h=0=uN+2−uN2hu1−u−12h=0=uN+2−uN2h\frac{u_1-u_{-1}}{2 h} = 0 = \frac{u_{N+2}-u_N}{2 h} 我的问题是关于定期公元前。我觉得我可以使用一个方程，即 ，但也许两年，然后我会用 ∂ X ü （0 ）= ∂ X ù （1 ）u(0)=u(1)u(0)=u(1)u(0) = u(1)∂xu （0 …

13 pde  boundary-conditions  parabolic-pde 

用简单极点（形式为）在复杂域中求解高维（3-10）抛物型PDE的最新技术水平是什么）并吸收边界条件？1|r⃗ 1−r⃗ 2|1|r→1−r→2| \frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|} 具体来说，我对求解多电子Schrödinger方程感兴趣： (∑i∑j≠i[−∇2i2m−ZiZj|r⃗ i−r⃗ j|+V(r⃗ i,t)])ψ=−i∂tψ(∑i∑j≠i[−∇i22m−ZiZj|r→i−r→j|+V(r→i,t)])ψ=−i∂tψ \left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi 对于具有1个以上电子的双原子分子。

11 parabolic-pde  quantum-mechanics  high-dimensional 

现在，我有一个使用Crank-Nicholson算法的代码，但是我认为我想转向更高阶的算法以进行时间步长。我知道Crank-Nicholson算法在我想工作的领域中是稳定的，但我担心某些其他算法可能不是。 我知道如何计算算法的稳定区域，但这可能有点麻烦。有人知道抛物线偏微分方程的大量时间步长算法的稳定性吗？

10 pde  stability  parabolic-pde 

在计算简单的一维反应扩散方程的解时，我做了一个奇怪的观察： ∂∂ta=∂2∂x2a−ab∂∂ta=∂2∂x2a−ab\frac{\partial}{\partial t}a=\frac{\partial^2}{\partial x^2}a-ab ∂∂tb=−ab∂∂tb=−ab\frac{\partial}{\partial t}b=-ab ∂∂tc=a∂∂tc=a\frac{\partial}{\partial t}c = a b的初始值bbb是一个常数（b(0,x)=b0b(0,x)=b0b(0,x)=b_0），我只对aaa从000到1的积分感兴趣111（∫10a(t,x)dt∫01a(t,x)dt\int_0^1a(t,x)dt）。的目的ccc和式∂∂tc=a∂∂tc=a\frac{\partial}{\partial t}c = a只是评估这个积分。 我使用了Strang分裂方案进行扩散和反应之间的偶联（半步反应，然后进行全步扩散，然后再次进行半步反应），对扩散进行了Crank Nicholson方案，并对反应进行了分析（包括等式∂∂tc=a∂∂tc=a\frac{\partial}{\partial t}c = a）。 因为分析溶液的一个步骤比Crank Nicholson方案的一个步骤慢3倍以上，所以我尝试为每个反应步骤制造一个以上的Crank Nicholson步骤。我希望能以更少的Strang拆分方案来解决问题，以便总体上更快。 但是，可以观察到相反的效果，即如果使用了多于一个的Crank Nicholson步骤，则需要更多的Strang拆分方案步骤。（我只关心整体上的准确性，这似乎收敛速度比本身）。想了一段时间后，我注意到，同样的效果也发生了，我什至理解为什么会出现这种情况。关键是，如果我精确地执行了一个Crank Nicholson步骤，那么整个方案将变成梯形规则（如果）。aaaaaab(t,x)=b0=0b(t,x)=b0=0b(t,x)=b_0=0b(t)=0b(t)=0b(t)=0 因此，如果我将视为扩散步骤的一部分，那么增加Crank Nicholson步骤的数量（可能）不会导致整体准确性降低（如观察到的那样）。但这似乎违反了为系统的（非线性和可能非常刚性的）反应部分使用解析解决方案的目的。∂∂tc=a∂∂tc=a\frac{\partial}{\partial t}c = a 所以这是我的问题：在Strang分裂的情况下，有没有更好的方法来处理，而不是将其视为反应步骤的一部分或作为扩散步骤的一部分。我想避免被“强制”使用恰好一个Crank Nicholson步骤进行扩散。（例如，在3D中，我宁愿通过FFT而不是使用Crank Nicholson来解析解析扩散。当然，我也可以将FFT与Crank Nicholson结合使用，所以没什么大不了的。）∂∂tc=a∂∂tc=a\frac{\partial}{\partial t}c = a

9 parabolic-pde  operator-splitting