高斯，拉普拉斯和墨西哥帽小波之差有什么区别？

简历中使用了三种技术，它们看起来非常相似，但有细微的差别：

• 高斯的拉普拉斯算子：$\nabla^2\left[g(x,y,t)\ast f(x,y)\right]$
• 高斯差异：$\left[g_1(x,y,t)\ast f(x,y)\right] - \left[g_2(x,y,t)\ast f(x,y)\right]$
• 用Ricker小波进行卷积：$\textrm{Ricker}(x,y,t)\ast f(x,y)$

据我目前了解：DoG是LoG的近似值。两者都用于斑点检测，并且两者本质上都充当带通滤波器。用墨西哥帽/里克小波进行卷积似乎可以达到几乎相同的效果。

我已将所有三种技术应用于脉冲信号（必须进行缩放以使幅度相似），结果非常接近。实际上，LoG和Ricker看起来几乎相同。我注意到的唯一真正的区别是使用DoG，我有2个免费的参数可以进行调整（和），而LoG和Ricker则为1。我还发现小波是最简单/最快的，因为它可以通过一次卷积（通过傅立叶空间乘以核的FT乘以完成）对DoG进行2次，对卷积进行卷积加Laplacian进行。 σ $\sigma_1$$\sigma_1$

• 每种技术的比较优点/缺点是什么？
• 有不同的用例，其中一个优于另一个吗？

我还凭直觉想到，在离散样本上，LoG和Ricker会退化为相同的操作，因为可以实现为内核 。[ - 1 ，2 ，- 1$\nabla^2$

$$\begin{bmatrix}-1,& 2,& -1\end{bmatrix}\quad\text{or}\quad\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}\quad\text{for 2D images}$$

将该操作应用于高斯会产生Ricker / Hat小波。此外，由于LoG和DoG与热扩散方程有关，我认为我可以使两者都与足够的参数摆设匹配。

（我仍然想弄清楚这些东西，以便随时纠正/澄清其中的任何一个！）

高斯拉普拉斯

图像的高斯拉普拉斯（LoG）可以写成$f$

$$\nabla^2 (f * g) = f * \nabla^2 g$$

与高斯核和卷积。即，由高斯核平滑的图像的拉普拉斯与与高斯核的拉普拉斯卷积的图像相同。在2D情况下，该卷积可以进一步扩展为$g$$*$

$$f * \nabla^2 g = f * \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}g+\frac{\partial^2}{\partial y^2}g\right) = f * \frac{\partial^2}{\partial x^2}g + f * \frac{\partial^2}{\partial y^2}g$$

因此，可以将其计算为输入图像的两个卷积与高斯核的二阶导数的相加（在3D中，这是3个卷积，等等）。这很有趣，因为高斯核及其导数是可分离的。那是，

$$f(x,y) * g(x,y) = f(x,y) * \left( g(x) * g(y) \right) = \left( f(x,y) * g(x) \right) * g(y)$$

这意味着我们可以使用两个1D卷积来计算相同的事物，而不是2D卷积。这样可以节省大量计算。对于最小的可想像的高斯核，您每个方向都有5个样本。2D卷积需要25次乘法和加法，两个1D卷积需要10次。内核越大，或图像中的维数越大，这些计算节省就越重要。

因此，可以使用四个1D卷积来计算LoG。但是，LoG内核本身是不可分离的。

有一个近似值，首先将图像与高斯核卷积，然后使用有限差分实现，得到3x3核，中间为-4，在其四个边缘邻点为1。$\nabla^2$

Ricker小波或Mexican hat算子与LoG相同，但要进行缩放和归一化。

高斯人的差异

图像的高斯（DoG）之差可以写成$f$

$$f * g_{(1)} - f * g_{(2)} = f * (g_{(1)} - g_{(2)})$$

因此，就像LoG一样，DoG可以看作是单个不可分离的2D卷积或两个可分离卷积的和（在这种情况下为差）。这样看来，与DoG相比，使用DoG似乎没有计算优势。但是，DoG是可调谐的带通滤波器，LoG不能以相同的方式进行调谐，应将其视为导数。DoG也会自然地出现在比例空间设置中，在此图像会以许多比例（具有不同sigma的高斯）进行过滤，后续比例之间的差异就是DoG。

DoG内核有一个可分离的近似值，尽管该近似值不是各向同性的，但可将计算成本降低一半，从而导致滤波器的旋转依赖性。

我曾经（亲自）展示过LoG和DoG的等效性，对于一个DoG，其中两个高斯核之间的sigma之差无限小（达到缩放比例）。我没有这个的记录，但是显示起来并不困难。

计算这些过滤器的其他形式

Laurent的答案提到了递归过滤，OP提到了Fourier域中的计算。这些概念适用于LoG和DoG。

的高斯及其衍生物可使用一种因果和反因果IIR滤波器来计算。因此，上面提到的所有一维卷积都可以在恒定时间内应用sigma。请注意，这仅对较大的sigma有效。

同样，可以在傅立叶域中计算任何卷积，因此DoG和LoG 2D内核都可以转换为傅立叶域（或在此处进行计算）并通过乘法应用。

结论

这两种方法的计算复杂度没有显着差异。我还没有找到使用DoG近似LoG的充分理由。

里克小波，（各向同性的）马尔小波，墨西哥帽或高斯的拉普拉斯算子属于同一概念：连续可接收小波（满足某些条件）。传统上，Ricker小波是一维版本。Marr小波或墨西哥帽是在2D图像分解的背景下给出的名称，例如，您可以考虑关于多尺度几何表示的“全景图”的第2.2节，空间，方向和频率的交织，信号处理，2011年，L。Jacques 等等 高斯的拉普拉斯算子是多维概括。

但是，实际上，人们在不同的级别接受不同类型的离散化。

我倾向于认为（除非提供更多细节）应用于高斯的 ×离散梯度核并不是原始的Ricker，而是一种简化的解释，它解释了图中的细微差异。我对参考资料感兴趣。实际上，您可以对 × Laplacian算子（4和8邻居）进行至少两个自然离散：$3\times 3$$3\times 3$

$$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

或 还有其他近似值，例如内核，或高斯Laplacian / Laplacian的其他化身。 5 ×

$$\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 8 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ \end{pmatrix}$$ $5\times 5$

通过适当选择方差比和（通常在1.6左右），高斯差可以为LoG提供很好的可分离近似值（例如参见Fast Almost-Gaussian Filtering，P。Kovesi）。依次可以通过递归近似高斯近似这些高斯。σ $\sigma_1$$\sigma_2$

但是，例如在某些拉普拉斯金字塔中，已经使用了其他比率，从而将DoG变成了更多通用的带通滤波器或边缘检测器。

最后参考：影像匹配使用广义尺度空间兴趣点，T. Lindeberg，2015年。