最小的指数分布的最大似然估计
我被困在如何解决这个问题上。 因此，对于，我们有两个随机变量序列和。现在，和是具有参数和独立指数分布。然而，而不是观察和，我们观察到，而不是和。ÿ 我我= 1 ，。。。，Ñ X ÿ λ μ X ÿ ž W¯¯XiXiX_iYiYiY_ii=1,...,ni=1,...,ni=1,...,nXXXYYYλλ\lambdaμμ\muXXXYYYZZZWWW Z=min(Xi,Yi)Z=min(Xi,Yi)Z=\min(X_i,Y_i)，如果Z_i = X_i则W = 1，如果Z_i = Y_i则为 0 。我必须在Z和W的基础上找到\ lambda和\ mu的最大似然估计的封闭形式。此外，我们需要证明这些是全局最大值。W=1W=1W=1Zi=XiZi=XiZ_i=X_iZi=YiZi=YiZ_i=Y_iλλ\lambdaμμ\muZZZWWW 现在，我知道两个独立指数的最小值本身就是指数，比率等于比率之和，因此我们知道ZZZ是带参数\ lambda + \ mu的指数λ+μλ+μ\lambda+\mu。因此，我们的最大似然估计器为：λ^+μ^=Z¯λ^+μ^=Z¯\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}。 但是我对从这里去的方向感到困惑。我知道WWW是参数p = P（Z_i = X_i）的伯努利分布p=P(Zi=Xi)p=P(Zi=Xi)p=P(Z_i=X_i)，但我不知道如何将其转换为关于参数之一的语句。例如，根据\ lambda和/或\ mu，MLE W¯W¯\bar{W}将估算什么？我知道如果Z_i = X_i，则\ mu = 0，但是在这里我很难弄清楚如何提出任何代数语句。λλ\lambdaμμ\muZi=XiZi=XiZ_i=X_iμ=0μ=0\mu=0 更新1：所以我在评论中被告知要推导ZZZ和W的联合分布的可能性WWW。 因此f(Z,W)=f(Z|W=1)⋅p+f(Z|W=0)⋅(1−p)f(Z,W)=f(Z|W=1)⋅p+f(Z|W=0)⋅(1−p)f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)其中p=P(Zi=Xi)p=P(Zi=Xi)p=P(Z_i=X_i)。正确？由于ZZZ和WWW不是独立的，因此在这种情况下我不知道如何导出联合分布。 因此，根据上述W的定义，得出f（Z_i，W_i）= p \ lambda …