推导多元正态分布的条件分布
我们有一个多元法向向量Y∼N(μ,Σ)Y∼N(μ,Σ){\boldsymbol Y} \sim \mathcal{N}(\boldsymbol\mu, \Sigma)。考虑将μμ\boldsymbol\mu和YY{\boldsymbol Y}划分为 μ=[μ1μ2]μ=[μ1μ2]\boldsymbol\mu = \begin{bmatrix} \boldsymbol\mu_1 \\ \boldsymbol\mu_2 \end{bmatrix} Y=[y1y2]Y=[y1y2]{\boldsymbol Y}=\begin{bmatrix}{\boldsymbol y}_1 \\ {\boldsymbol y}_2 \end{bmatrix} 将\ Sigma的类似分区划分ΣΣ\Sigma为 [Σ11Σ21Σ12Σ22][Σ11Σ12Σ21Σ22] \begin{bmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12}\\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{bmatrix} 然后，(y1|y2=a)(y1|y2=a)({\boldsymbol y}_1|{\boldsymbol y}_2={\boldsymbol a})，给定第二个分区的第一个分区的条件分布为 N(μ¯¯¯¯,Σ¯¯¯¯)N(μ¯,Σ¯)\mathcal{N}(\overline{\boldsymbol\mu},\overline{\Sigma})，其均值 μ¯¯¯¯=μ1+Σ12Σ22−1(a−μ2)μ¯=μ1+Σ12Σ22−1(a−μ2) \overline{\boldsymbol\mu}=\boldsymbol\mu_1+\Sigma_{12}{\Sigma_{22}}^{-1}({\boldsymbol a}-\boldsymbol\mu_2) 和协方差矩阵 Σ¯¯¯¯=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21Σ¯=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21 \overline{\Sigma}=\Sigma_{11}-\Sigma_{12}{\Sigma_{22}}^{-1}\Sigma_{21} 实际上，这些结果也已在Wikipedia中提供，但是我不知道μ¯¯¯¯μ¯\overline{\boldsymbol\mu}和Σ¯¯¯¯Σ¯\overline{\Sigma}是如何得出的。这些结果至关重要，因为它们是推导卡尔曼滤波器的重要统计公式。有人能提供我推导μ¯¯¯¯μ¯\overline{\boldsymbol\mu}和\ overline {\ Sigma}的推导步骤Σ¯¯¯¯Σ¯\overline{\Sigma}吗？非常感谢你！