分位数回归估计器公式
我已经看到了分位数回归估计量的两种不同表示形式，分别是 Q(βq)=∑i:yi≥x′iβnq∣yi−x′iβq∣+∑i:yi<x′iβn(1−q)∣yi−x′iβq∣Q(βq)=∑i:yi≥xi′βnq∣yi−xi′βq∣+∑i:yi<xi′βn(1−q)∣yi−xi′βq∣Q(\beta_{q}) = \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta} q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta} (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid 和 Q(βq)=∑i=1nρq(yi−x′iβq),ρq(u)=ui(q−1(ui<0))Q(βq)=∑i=1nρq(yi−xi′βq),ρq(u)=ui(q−1(ui<0))Q(\beta_q) = \sum^{n}_{i=1} \rho_q (y_i - x'_i \beta_q), \hspace{1cm} \rho_q(u) = u_i(q - 1(u_i < 0 )) 其中。有人可以告诉我如何显示这两个表达的对等吗？这是我到目前为止尝试过的，从第二个表达式开始。ui=yi−x′iβqui=yi−xi′βqu_i = y_i - x'_i \beta_q 但从这一点上，我就死在如何进行。请不要说这不是家庭作业或作业问题。非常感谢。Q(βq)=∑i=1nui(q−1(ui<0))(yi−x′iβq)=∑i=1n(yi−x′iβq)(q−1(yi−x′iβq<0))(yi−x′iβq)=⎡⎣∑i:yi≥x′iβn(q(yi−x′iβq))+∑i:yi<x′iβn(q（y一世-x′一世βq）− （y一世-x′一世βq））⎤⎦（y一世-x′一世βq）Q（βq）=∑一世=1个ñü一世（q-1个（ü一世<0））（ÿ一世-X一世′βq）=∑一世=1个ñ（ÿ一世-X一世′βq）（q-1个（ÿ一世-X一世′βq<0））（ÿ一世-X一世′βq）=[∑一世：ÿ一世≥X一世′βñ（q（ÿ一世-X一世′βq））+∑一世：ÿ一世<X一世′βñ（q（ÿ一世-X一世′βq）-（ÿ一世-X一世′βq））]（ÿ一世-X一世′βq） \begin{align} Q(\beta_q) &= \sum^{n}_{i=1} …