如何将四边形投影为矩形？
tl; dr：射影几何中的数学问题：如何找到如下所示的投影的4x4相机矩阵，使得点A，B，C，D位于单位框的边缘某处（例如OpenGL归一化设备坐标），单位框的角沿EA，EB，EC，ED射线落在合理的位置？ （这可能是单应性，透视性和/或归类的一种特殊情况。不熟悉术语。） 细化 给定视口内的四边形ABCD，我认为存在一个独特的（？）转换，可将其映射回矩形。如下图所示：视口中的四边形ABCD充当物理“窗口”，如果我们将其映射回矩形，它将显得失真。 （右边的方框代表NDC，我稍后再谈） 目的是快速获得右侧的图像。我们可以用光线跟踪每个点来获取图像（我已经完成了），但是我更喜欢使用OpenGL或其他投影技术，因为我想利用诸如混合，基元之类的东西。 第一次尝试 我相信我可以解决以下问题：找到3x4 相机矩阵，该矩阵在3空间（在左侧）中使3 + 1维均匀坐标，然后将其投影到2空间（在2维上）具有2 + 1维均匀坐标（在左侧）正确的）。可以使用直接线性变换来解决此问题，以获得摄像机矩阵Ba=0未知项a的方程组，并使用奇异值分解来求解该系统（SVD）。我将向量EA，EB，EC，ED（其中E是您的肉眼或世界空间中的相机）作为原像中的点，并将（0,0），（1,0），（1 ，1），（0,1）之类的东西作为后图像中的点，并且每对点都会给出一些线性方程式以插入SVD。生成的矩阵将映射EA->（0,0）等。（假设有足够的自由度，即，如果解决方案是唯一的，那么我不确定，请参见注释[a]。） 但是令我烦恼的是，这不是OpenGL的工作方式。OpenGL不会直接使用3x4矩阵将3d投影到2d。OpenGL需要“归一化设备坐标”（NDC），它们是三维点。投影到NDC之后，将绘制“单位”框中从（-1，-1，-1,1）到（1,1,1,1）的所有内容；外部的所有内容都会被裁剪（因为我们正在处理同质坐标：仅当（x / w，y / w，z / w的前三个坐标）时，任何点（x，y，z，w）才会显示在屏幕上，1）在-1至1）的单位框中。 因此，问题就变成了：是否存在某种合理的变换，可以将一些看起来怪异的长方体映射到均质坐标中（特别是在左侧绘制的长方体，其ABCD（前端）和A'B'C'D'（后端，隐藏）在前端后面））到单位立方体，例如使用4x4矩阵？怎么做？ 我尝试过的 我已经尝试了一些更强大的方法：我使ABCD和A'B'C'D'看起来像是普通的锥体平截头圆锥体（例如gl平截头体）（即，在这种假设的设置中，左侧的图像只是在其上叠加了一个黑色矩形）而不是四边形），然后使用DLT /直接线性变换来求解所谓的4x4矩阵。但是，当我尝试它时，似乎没有足够的自由度...生成的4x4矩阵并未将每个输入向量映射到每个输出向量。在使用A，B，C，D，A'（5对转换前和转换后向量）时，我/几乎/得到了我想要的结果...这些向量已正确映射，但是例如B'， C'，D'映射到（3,3,1,1）而不是（-1，-1,1,1），并被OpenGL裁剪掉。如果我尝试添加第六点（用于投影4x4矩阵的6对点），我的解决方案似乎退化（零，无限）。我在这里要处理多少自由度，并且使用4x4矩阵映射我们知道和喜欢的4个向量（3 + 1维齐次坐标向量）是否有可能？ 随意的小想法 我猜想不可能将任意长方体映射到具有4x4矩阵的任意长方体，尽管我很困惑，因为我认为可以使用2D中的某些矩阵在2d中将任何凸四边形映射到任何其他凸四边形。 ，例如，Photoshop？...不能/不能通过投影变换来完成吗？以及如何将其推广到3d？......同样，由于未能找到4x4矩阵，线性代数表示，在最佳情况下，我们不应该期望NxN矩阵将N个以上线性独立的点映射到N个目标点，但是我觉得这是同质的协调作弊这是因为存在一些隐藏的共线性吗？我猜不会？ 另一个解决方案？ 我猜可能还可以做以下丑事：使用典型的平截头体相机投影矩阵，找到与角对应的2D点，然后执行2D透视变形单应性，但是如果在渲染像素之后发生（例如photoshop），那么分辨率就会出现问题……也许假设可以找出一个矩阵在NDC空间内的XY平面上执行此转换，然后将其与基于普通视锥峰的矩阵组合起来？ （注释[a]：自由度：如果需要的话，可以将ABCD进一步约束为作用在矩形上的投影变换的后图像...可以说是左侧的黑色矩形是投影相框剪贴画模型的结果）