在一个间隔中找到两个数字的最大异或：我们能做得比二次更好吗？

$l$$r$$\max{(i\oplus j)}$$l\le i,\,j\le r$

天真的算法只检查所有可能的对。例如在红宝石中，我们有：

def max_xor(l, r)
  max = 0

  (l..r).each do |i|
    (i..r).each do |j|
      if (i ^ j > max)
        max = i ^ j
      end
    end
  end

  max
end

我感觉到，我们可以做得比二次。是否有针对此问题的更好算法？

我们可以在和的二进制表示形式的长度中实现线性运行时：$n$$l$$r$

和的二进制表示形式中的前缀对两个值都相同，对它们之间的所有值也相同。因此，这些位将始终为。$p$$l$$r$$0$

由于，以下此前缀的比特将是的和在。此外，数字和都处于间隔中。$r>l$$1$$r$$0$$l$$p10^{n-|p|-1}$$p01^{n-|p|-1}$

因此，我们要寻找的最大值是。$0^{|p|}1^{n-|p|}$

可以在时间内完成。$\mathcal{O}(\log r)$

从时间间隔的任何两个整数的最大可能的XOR 可以从被确定升⊕ - [R ，假设升，- [R是整数。此值等于2 p - 1，其中p是最小的值，使得2 p大于升⊕ ř。 $[l, r]$$l \oplus r$$l, r$$2^p-1$$p$$2^p$$l \oplus r$

这是C ++的实现

int maximumXOR(int l, int r) {
    int q = l ^ r, a = 1;
    while(q){
        q /= 2;
        a <<= 1;
    }
    return --a;
}

我们需要最大化“小”与“高”之间的异或。因此，让我们举一个例子来理解这一点。

5 xor 2 = 101 xor 010第一种情况：范围内的两个值均未设置MSB位如果要最大程度地提高此值，则我们需要保持MSB为5（100）并考虑最大化剩余的低位。众所周知，当所有内容均为11时，低位全部为1，仅3，即2 ^ 2-1。由于问题在于2到5之间的范围，因此我们肯定在该范围内有3。因此，我们要做的就是找出2个值中较大的最高MSB集，并将其余的1与低位相加。

第二种情况：至于在xor范围内将两个值都设置为MSB的情况，则肯定会将那些位设置为0，我们需要返回低位。同样，对于低位，我们需要重复与第一种情况相同的逻辑。示例：（10，12）（1010，1100）如您所见，两个MSB都设置为1，那么我们必须返回到较低的位010和100。现在，此问题与第一种情况相同。

有几种方法可以对此进行编码。我所做的只是在“小”和“高”之间进行异或运算，如果“小”和“高”都设置了MSB位，则将删除MSB位。如果不是这种情况，它将保留MSB位。之后，我试图通过在异或输出中找出2的最大乘方并减去1，来使所有低1位。

def range_xor_max(small, high):
  if small == high:
    return 0
  xor = small ^ high
  #how many power of 2 is present
  how_many_power_of_2 = math.log(xor, 2)
  #we need to make all one's below the highest set bit
  return 2**int(math.floor(how_many_power_of_2)+1) - 1

好了，您可以使用l和r的XOR 来找到答案。

假设l = 4且r = 6。

l = 100，r = 110（这些数字的二进制等价物）

l⊕r= 0 10

这意味着，您要寻找的最大值肯定会将其第一位（MSB）设为零。（考虑一下，您的最大值甚至有可能在第一位取一个1？如果是01010和00101，则xor等于= 01 111，即01010和00101之间的最大值肯定是从左数第二个位为1，则不可能在从左数第二个位之前获得1，即从左数第一位为1）

因此，剩下的2位可以找到最大值。我们知道，当我们有n位时，最大可能值为= 2 ⁿ -1，因此在这种情况下的答案将是2 ² -1 = 4-1 = 3。

从上面的示例中，我们可以为此制定一个通用算法。

步骤1. num =表示max（l，r）所需的位数

步骤2. RES = 升 ⊕ ř

步骤3. pos =在res（从0开始的索引）中从左开始设置的第一位的位置

步骤4. n = num - pos

步骤5。ans = 2 ⁿ -1

时间复杂度= O（n）

对于每个二进制数字，有4种可能性：1_and_1，1_and_0，0_and_1或0_and_0。可能的低位数字与下一位数字的异或输出没有差别或对数消失很小。最好的算法是忽略所有低位数字，并考虑较早的有关高位数字的选择，仅考虑下2个可用数字。如果这是1_and_1或0_and_0，则选择是明确的，但如果此数字是1_and_0与0_and_1（具有相等的xor但不相等的值），则递归地应等于https://en.wikipedia.org/wiki/Edit_distance算法，表示对数平方的最坏情况。

对于32位的时间间隔，我只是O(1)在Hacker Rank社论中遇到了此解决方案。我不知道它是如何工作的，但是它可以工作。（也许有人可以解释它为什么起作用。）

def max_xor(L,R):
  v = L^R
  v |= v >> 1
  v |= v >> 2
  v |= v >> 4
  v |= v >> 8
  v |= v >> 16
  return b

资料来源：https : //www.hackerrank.com/challenges/maximizing-xor/editorial