给定基数的最小权重子森林

这个问题是由关于stackoverflow的问题引起的。

假设您在节点（标记为）上得到了根树（即，有一个根并且节点具有子节点等）。$T$$n$$1, 2, \dots, n$

每个顶点都有一个关联的非负整数权重：。$i$$w_i$

此外，还给您一个整数，使得。$k$$1 \le k \le n$

一组节点的权重是节点的权重之和：。$W(S)$$S \subseteq \{1,2,\dots, n\}$$\sum_{s \in S} w_s$

给定输入，和，$T$$w_i$$k$

的任务是找到一个最小重量子森林*，中，使得 具有完全相同节点（即）。$S$$T$$S$$k$$|S| = > k$

换句话说，对于任何subforest的，使得，我们必须有。$S'$$T$$|S'| = k$$W(S) \leq W(S')$

如果每个节点的子节点数是有界的（例如，二叉树），则存在使用动态规划的多项式时间算法。

我觉得这对一般树木来说是NP-Hard，但我还找不到任何参考/证明。我什至看过这里，但找不到可能有帮助的东西。我觉得即使您限制，这仍将是NP-Hard （这可能更容易证明）。$w_i \in \{0,1\}$

看来这应该是一个经过充分研究的问题。

有谁知道这是否是NP-Hard问题/是否存在已知的P时间算法？

*的子森林是树的节点的子集，因此，如果，则所有子代也都在。（即，它是的根子树的不交集并集）。$T$$S$$T$$x \in S$$x$$S$$T$

PS：如果事实证明我错过了明显的事情，而这个问题确实是题外话，请原谅我。

与二叉树的解决方案类似，您可以在一棵树上的多项式时间内求解它，而不受程度限制：首先，将问题推广到每个节点也都有一个“ count”，然后的问题是要找到一个subforest计数。推广了动态规划法到这个版本（它仍然工程有一张桌子，给定一个固定的数，什么是在其子树计数最小重量subforest正是） $c_i\in\{0,1\}$$S$$k=\sum_{i\in S} c_i$$C$$C$

保留节点数为1的原始树。将度数大于2的每个节点拆分为具有deg叶的二叉树（形状无关紧要）。新节点的计数和权重为0。解决新树上的问题。读出解决方案时，请忽略任何新节点。这将仍然是相同重量的森林。因为任何原始子森林都会转换为相同权重的新子森林，所以找到的子森林是最佳的。$v$$(v)$