与SAT有关的拓扑空间：它紧凑吗？

在满足性问题，当然，在理论CS的一个基本问题。我正在玩一个无限多个变量的问题版本。$\newcommand{\sat}{\mathrm{sat}} \newcommand{\unsat}{\mathrm{unsat}}$

基本设置。令为非空且可能是无限的变量集。文字是变量或否定。子句是数量有限的文字的析取。最后，我们将公式定义为一组子句。$X$¬ X Ç$x \in X$$\neg x$$c$$F$

X的赋值$X$是一个函数$\sigma : X \to \{0,1\}$。我不会明确定义赋值$\sigma$满足子句的条件；它有点麻烦，并且与标准SAT中的相同。最后，如果赋值满足每个组成子句，则赋值满足公式。令$\sat(F)$为F的满意分配的集合$F$，令$\unsat(F)$为\ sat（F）的补码$\sat(F)$。

拓扑空间。

我们的目标是赋予X的所有赋值空间$X$，称为$\Sigma$，具有拓扑结构。我们的封闭集的格式为$\sat(F)$，其中$F$是一个公式。我们可以验证这确实是一个拓扑：

• 所有赋值都满足不包含子句的空公式$\emptyset$；因此$\Sigma$已关闭。
• X中任何x \的公式\ {x，\ neg x \}是矛盾的。因此\ emptyset已关闭。$\{ x, \neg x \}$$x \in X$$\emptyset$
• 在任意交点处关闭。假设$F_{i}$是每个i \ in I的公式$i \in I$。然后$\sat \left(\bigcup_{i \in I} F_i\right) = \bigcap_{i \in I} \sat(F_i)$。
• 在有限联合下关闭。假设$F$和$G$是两个公式，并定义 $$F \vee G := \{ c \vee d \,:\, c \in F, d \in G \}.$$ 然后$\sat(F \vee G) = \sat(F) \cup \sat(G)$这需要一个参数，但我将跳过它。

将此拓扑称为$\mathcal T$，即\ Sigma上的“可满足拓扑”（！）$\Sigma$。当然，此拓扑的开放集的格式为$\unsat(F)$。此外，我观察到开放集 \ {\ unsat（c）\，：\，c \ text {是子句} \} 的集合

紧凑？我觉得这是一种有趣的方法，即使不是非常有用的方法。我想了解这个拓扑空间是否具有传统的有趣属性，例如紧密性，连通性等。在这篇文章中，我们将自己局限于紧密性：

令为无数个变量的无限集合。^1个是紧凑下？$X$$\Sigma$$\mathcal T$

一个可以证明以下几点

主张。 如果并且仅对于所有不满足条件的公式，存在有限的不满足子公式是紧凑的。$\mathcal T$$F$$\{ c_1, c_2, \ldots, c_m \} \subseteq F$

（不是那么难做！）经过几天的思考，我在回答这个问题上没有太大进展。我也没有支持或反对紧凑性的有力证据。你能建议一些办法吗？

最后，作为奖励问题：

以前是否研究过这种结构？

¹对可数的限制只是为了简化；感觉就像是有限数量的变量的下一步。$X$

您正在做的是推导布尔代数的拓扑表示。布尔代数表示的研究至少可以追溯到Lindenbaum和Tarski，他们证明（我认为是1925年），完整的原子布尔代数与幂集格是同构的。

但是，布尔布尔代数不完整且不是原子的。例如，序列是一个下降链，在公式上定义的布尔代数中没有限制。马歇尔·斯通（Marshall Stone ）解决了任意布尔代数（例如您提到的布尔代数）是否也具有基于集合的表示法的问题，他提出了格言“总是道歉”（Marshall H. Stone。布尔代数的表示法，1938年）。 。$x_1, x_1 \land x_2, \ldots$

布尔代数的Stone表示定理每个布尔代数对于拓扑空间的clopen子集的格是同构的。

主要思想是考虑您的情况对公式的满意分配。在一般情况下，您需要考虑从布尔代数到两个元素布尔代数（真值）的同态。的倒数为您提供令人满意的赋值集，或者称为布尔代数的超滤子。从这些中，可以得到一种称为布尔代数的频谱或斯通空间的拓扑。斯通也提供您问题的答案。$\mathit{true}$

布尔代数的Stone空间是一个紧凑的，完全不相连的Hausdorff空间。

有一些结果可以在各个方向上扩展和概括Stone的表示形式。一个自然的问题是要问其他格子族是否具有这种表示形式。Stone的结果也适用于分布晶格。任意晶格的拓扑表示由1978年的Alasdair Urquhart给出。与布尔代数相比，分布晶格在结构上具有更大的多样性，因此引起了极大的兴趣。希拉里·普里斯特利（Hilary Priestley）于1970年使用有序拓扑空间的思想对分配案例进行了另一种表示。代替基于集合的表示，我们可以找到基于姿态的表示和拓扑。

这些论文的结构具有一项非凡的特性。Stone的构造不仅将布尔代数映射到拓扑空间：与布尔代数相关的结构关系转化为结果拓扑之间的结构特性。这是类别之间的对偶。这种结果的整个范围称为“ 石对偶”。非正式地，对偶性为我们提供了数学世界之间的精确转换：集合的组合世界，网格的代数世界，拓扑的空间世界和逻辑的演绎世界。这里有一些起点可能会有所帮助。

1. 戴维（Davey）和普里斯特利（Priestley）在《格和序的概论》的第11章介绍了斯通定理。
2. Matthew Gwynne的幻灯片 涵盖了定理，并给出了紧致性的证明。马修（在评论中）还建议Paul Halmos撰写《布尔代数入门》。
3. 在从命题逻辑过渡到模态逻辑时，布尔代数通过保留连接的运算符和内部拓扑进行了扩展。Jónsson和Tarski在1952年发表的论文《带运算符的布尔代数》具有极高的可读性，并与现代符号保持一致。
4. Blackburn，de Rijke和Venema撰写的《模态逻辑》第5章介绍了Stone定理及其对带运算符的布尔代数的扩展。
5. 彼得·约翰斯通（Peter Johnstone）的《石空间》（Stone Spaces）评论了其他各种代数的结果。