效用函数的均一度。

题

我的解决方案如下。请检查我的解决方案。如果我输错了，请告诉。我真的不确定我的解决方案。谢谢

U（x）是一阶同质的，即u（tx）= tu（x）

首先，我证明间接效用函数在m中是一阶齐次的。

通过效用最大化，

V（P，M）= MAX U（x）的受PX $\le$米

tv（p，m）=最大tu（x）$\le$ px≤m

由于U（TX）= TU（X），电视（P，M）= MAX U（TX）受到像素$\le$米

然后v（p，tm）= tv（p，m）

即间接效用函数是一阶同质的。

通过使用先前的结果，我证明支出函数在u中是一阶同质的。

我知道

v（p，m）= v（p，e（p，u））= u（x）

由于u（x）是一阶的齐次且v（p，m）是m的一阶的齐次，所以v（p，e（p，u））必须是e（p，u）的一阶的齐次。

换句话说，v（p，e（p，u（tx）））= v（p，e（p，tu（x）））= tv（p，e（p，u））保持iff e（p ，tu（x））= te（p，u（x））

即，昂贵的函数e（p，u）在u中是一阶同构的。

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现在，我将证明马歇尔需求x（p，m）与m中的一阶同质。

以罗伊（Roy）的身份，

$$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$$

根据第一个结果，由于v（p，m）在m中的度数是同质的，因此x（p，m）在m中的度数是同质的。

现在让我们证明希克斯的需求与u中的一阶同质。

我知道

x（p，m）= x（p，e（p，u））= h（p，u）........（1）

x（p，tm）= tx（p，m）= tx（p，e（p，u））= x（p，te（p，u））

由于e（p，u）在第二部分与一阶同质，

x（p，te（p，u））= x（p，e（p，u（tx））= h（p，u（tx））= h（p，tu（x））= th（p， u（x））必须成立，因为equal（1）存在。

那就是希克斯的需求是同等的。

您证明与一阶齐次的方式是正确的，但是这意味着与一阶齐次的原因并不十分精确。 。例如，对偶性告诉我们 其中只是目标实用程序级别，但不像您的证明中那样是。$v(p,m)$$m$$e(p,u)$$u$

$$v(p,e(p,u))=u,$$ $u$$u(x)$

这是一种可能的处理方式：由于在是一阶齐次的，因此可以写为 应用等式得出 这显然意味着是齐次的你的一。您可以使用类似的论据证明希克西亚需求的同质性。$v(p,m)$$m$

$$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$$ $v(p,e(p,u))=u$ $$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$$ $e(p,u)$$u$

综上所述，我建议您直接使用支出函数和希克斯式需求的定义来证明原始陈述。例如，

$$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$$