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PDE反问题中的逐点观察与连续观察
我的博士生正面临一个反问题。研究，为简单起见，我们会说是确定在ββ\beta L(β)u≡−∇⋅(k0eβ∇u)=fL(β)u≡−∇⋅(k0eβ∇u)=fL(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f 从一些意见 ; k 0是一个常数，并且f是已知的。通常将此公式化为用于优化的优化问题uouou^ok0k0k_0fff J[u,λ;β]=12∫Ω(u(x)−uo(x))2dx+∫Ωλ(L(β)u−f)dxJ[u,λ;β]=12∫Ω(u(x)−uo(x))2dx+∫Ωλ(L(β)u−f)dxJ[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx 其中是拉格朗日乘数。可以通过求解伴随方程来计算J相对于β的泛函λλ\lambdaJJJββ\beta L(β)λ=u−uo.L(β)λ=u−uo.L(\beta)\lambda = u - u^o. 由于通常的原因，一些正则化函数被添加到问题中。R[β]R[β]R[\beta] 这里不言而喻的假设是，在整个域Ω中连续定义了观测数据。我认为改用我的问题可能更合适uouou^oΩΩ\Omega J[u,λ;β]=∑Nn=1(u(xn)−uo(xn))22σ2n+∫Ωλ(L(β)u−f)dxJ[u,λ;β]=∑n=1N(u(xn)−uo(xn))22σn2+∫Ωλ(L(β)u−f)dxJ[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx xnxnx_nσnσn\sigma_nnnn 这使我停顿一下，因为伴随方程变为 L(β)λ=∑Nn=1u(xn)−uo(xn)σ2nδ(x−xn)L(β)λ=∑n=1Nu(xn)−uo(xn)σn2δ(x−xn)L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) …