Questions tagged «nonlinear-equations»

非线性方程组的解。这些方程可以是代数方程或微分方程。

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欧氏距离（八度）
我想知道是否存在一种快速方法来计算八度中两个向量的欧几里得距离。似乎没有特殊的功能，所以我应该只使用带有的公式sqrt吗？
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牛顿-克里洛夫什么时候不适合求解？
最近，我一直在比较来自scipy的不同非线性求解器，并且尤其对《 Scipy Cookbook》中的Newton-Krylov示例印象深刻，在该示例中，他们用大约20行代码来求解带有非线性反应项的二阶微分方程组。 我修改了示例代码，以解决半导体异质结构的非线性Poisson方程（也称为Poisson-Boltzmann方程，请参见本说明中的第17页），其形式为： d2ϕdx2−k(x)(p(x,ϕ)−n(x,ϕ)+N+(x))=0d2ϕdx2−k(x)(p(x,ϕ)−n(x,ϕ)+N+(x))=0 \frac{d^2\phi}{dx^2} - k(x) \left(p(x,\phi) - n(x,\phi) + N^{+}(x)\right) = 0 （这是传递给求解器的残差函数。） 这是一个静电问题，其中和是形式为n_i（x）e ^ {-（E_i（x，\ phi）-E_f）}的非线性函数。此处的细节并不重要，但关键是非线性函数随\ phi呈指数变化，因此残差函数可以在很大的范围内（10 ^ {-6}-10 ^ {16}）发生微小变化。在\ phi中n(x,ϕ)n(x,ϕ)n(x,\phi)p(x,ϕ)p(x,ϕ)p(x,\phi)ni(x)e−(Ei(x,ϕ)−Ef)ni(x)e−(Ei(x,ϕ)−Ef)n_i(x) e^{-(E_i(x,\phi) - E_f)}ϕϕ\phi10−6−1016)10−6−1016)10^{-6} - 10^{16})ϕϕ\phi。 我用scipy的Newton-Krylov用数值方法求解了这个方程，但是它永远不会收敛（实际上，在计算雅可比方程时总是会报告一个错误）。我从Newton-Krylov求解器切换为fsolve（基于MINPACK hybrd），它第一次起作用！ 牛顿-克里洛夫（Newton-Krylov）不适合某些问题的一般原因吗？输入方程是否需要以某种方式进行调节？ 也许需要更多信息来发表评论，但是为什么您认为fsolve在这种情况下有效？
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是否可以不使用Newton-Raphson迭代来求解非线性PDE？
我试图了解一些结果，并希望对解决非线性问题提出一些一般性意见。 Fisher方程（非线性反应扩散PDE）， üŤ= düX X+ βu （1 − u ）= F（你）üŤ=düXX+βü（1个-ü）=F（ü） u_t = du_{xx} + \beta u (1 - u) = F(u) 以离散的形式 ü′Ĵ= L u + βüĴ（1 − uĴ）= F（你）üĴ′=大号ü+βüĴ（1个-üĴ）=F（ü） u_j^{\prime} = \boldsymbol{L}\boldsymbol{u} + \beta u_j (1 - u_j) = F(\boldsymbol{u}) 其中大号大号\boldsymbol{L}是微分算子，你= （你j − 1，üĴ，üj + 1）ü=（üĴ-1个，üĴ，üĴ+1个）\boldsymbol{u}=(u_{j-1}, u_j, u_{j+1}) …
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用数字解决难题方程组
我有一个要求解的个非线性方程组：ñnn f = （f 1，… ，f n）F（x）= af(x)=a\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{a} F= （f1个，… ，fñ）x =（ x1个，… ，xñ）f=(f1,…,fn)x=(x1,…,xn)\mathbf{f}=(f_1,\dots,f_n)\quad\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n) 该系统具有许多特性，使其特别难以操作。我正在寻找有关如何更有效地处理系统的想法。 为什么系统很难？ 功能类似于此功能（但当然是多维的）： 它们具有平坦的高原，由平坦的变化区域隔开。在2D中，您可以想象一个像这样：F一世fif_i 通常，每个具有两个平稳段，这些平稳段通过围绕维超平面的平滑变化而分开。 Ñ - 1F一世fif_in − 1n−1n-1 像牛顿那样的方法很难处理这样的函数，因为导数在高原上实际上为零。在多个维度上，我无法轻易找到都没有稳定的F一世fif_i区域，如果可以的话，就可以解决问题。二等分方法在效果很好，但是不能很好地推广到多个维度。n = 1n=1n=1 这些函数的计算速度非常慢。我正在寻找一种方法，它可以在尽可能少的迭代中获得根的合理近似值。 这些函数是使用蒙特卡洛方法计算的。这意味着每次计算它们时，我都会得到略有不同的随机值。导数很难估计​​。一旦我们距离根足够近，噪声将开始占主导地位，因此有必要使用平均来提高精度。理想情况下，应该有可能将方法推广到等效的随机近似版本（例如，Newton→Robbins-Monro）。 该系统是高维的。可以大到10-20。当，一种有效的方法可能是以下方法：尝试遵循和定义的轮廓并查看它们相交的位置。尚不清楚如何将其推广到高尺寸。n = 2 f 1（x 1，x 2）= 0 f 2（x 1，x 2）= 0ñnnn=2n=2n=2f1(x1,x2)=0f1(x1,x2)=0f_1(x_1,x_2) = 0f2(x1,x2)=0f2(x1,x2)=0f_2(x_1,x_2)=0 我对系统还有什么了解？ 正是有一个根源（根据理论结果）。 我知道高原上的的值（假设任何为0和1 ）。我fifif_iiii x i …
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用于随机计算函数的方程求解的数值方法
有许多众所周知的数值方法可以求解类型为 例如二等分法，牛顿法等。F（x ）= 0 ，X ∈ řñ，f(x)=0,x∈Rn, f(x) = 0, \quad x \in \mathbb{R}^n, 在我的应用程序中，是用随机方法计算的（结果是平均值）。F（x ）f(x)f(x) 有什么数值方程求解方法可以很好地处理这种情况？也欢迎链接到任何类似情况的讨论。 我可以计算的精度很大程度上取决于，并且我很容易碰到一堵墙，在不显着增加计算时间的情况下无法提高精度。因此，我不能忽略的结果不精确的事实。这也将影响实际中可以找到的精度。F（x ）f(x)f(x)XxxFffXxx
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四次方程的解
对于四次方程的解是否有开放的C实现： ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 我正在考虑实施法拉利解决方案。在Wikipedia上，我读到该解决方案仅对某些可能的系数符号组合具有计算稳定性。但是也许我很幸运……通过使用计算机代数系统分析求解并导出到C，我得到了一个务实的解决方案。但是，如果有经过测试的实现，我更喜欢使用它。我搜索一种快速方法，但不希望使用一般的根查找器。 我只需要真正的解决方案。
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关于非线性有限差分方程，冯·诺依曼的稳定性分析告诉我们什么？
我正在阅读一篇论文[1]，他们在其中解决了以下非线性方程 ut+ux+uux−uxxt=0ut+ux+uux−uxxt=0\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation} 使用有限差分法。他们还使用冯·诺依曼的稳定性分析来分析方案的稳定性。但是，正如作者意识到的那样，这仅适用于线性PDE。因此，作者通过“冻结”非线性项来解决此问题，即他们替换了非线性项。uuxuuxuu_x 与 UuxUuxUu_x，在哪里 UUU “被认为代表了 uuu”。 所以我的问题有两个： 1：如何解释此方法，为什么不起作用？ 2：我们也可以更换 uuxuuxuu_x 与 uUxuUxuU_x 学期 UxUxU_x “被认为代表了 uxuxu_x“？ 参考文献 Eilbeck，JC和GR McGuire。“正则化长波方程的数值研究I：数值方法。” Journal of Computational Physics 19.1（1975）：43-57。
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解决牛顿-拉夫森以外的非线性对流扩散系统的方法？
我正在做一个项目，在该项目中，我有两个通过各自的源条件进行adv-diff耦合的域（一个域增加质量，另一个域减去质量）。为简便起见，我正在对它们进行稳态建模。这些方程式是您的标准对流扩散输运方程式，其源项如下所示： ∂c1∂t=0=F1+Q1(c1,c2)∂c2∂t=0=F2+Q2(c1,c2)∂c1∂t=0=F1+Q1(c1,c2)∂c2∂t=0=F2+Q2(c1,c2) \frac{\partial c_1}{\partial t} = 0 = \mathcal{F}_1 + \mathcal{Q}_1(c_1,c_2) \\ \frac{\partial c_2}{\partial t} = 0 = \mathcal{F}_2 + \mathcal{Q}_2(c_1,c_2) 其中是物种扩散和对流通量，而是物种的源项。FiFi\mathcal{F}_iiiiQiQi\mathcal{Q}_iiii 我已经能够使用牛顿-拉夫森方法为我的问题编写求解器，并且已经使用块质量矩阵将两个域完全耦合，即： Fcoupled=[A100A2][c1,ic2,i]xi−[b1(c1,i,c2,i)b2(c1,i,c2,i)]Fcoupled=[A100A2][c1,ic2,i]⏟xi−[b1(c1,i,c2,i)b2(c1,i,c2,i)] F_{coupled} = \left[\begin{array}{c c} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \\ \end{array}\right]\underbrace{ \left[\begin{array}{c} c_{1,i} \\ c_{2,i} \\ \end{array}\right] }_{x_i} - \left[\begin{array}{c} b_1(c_{1,i}, c_{2,i}) \\ b_2(c_{1,i}, …
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