伽玛分布与正态分布之间的关系
我最近发现有必要为平均值为0的正常随机变量的平方导出pdf。无论出于什么原因，我都选择不预先对方差进行归一化。如果我正确执行此操作，则此pdf如下： N2(x;σ2)=1σ2π−−√x−−√e−x2σ2N2(x;σ2)=1σ2πxe−x2σ2 N^2(x; \sigma^2) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi} \sqrt{x}} e^{\frac{-x}{2\sigma^2}} 我注意到这实际上只是伽马分布的参数化： N2(x;σ2)=Gamma(x;12,2σ2)N2(x;σ2)=Gamma(x;12,2σ2) N^2(x; \sigma^2) = \operatorname{Gamma}(x; \frac{1}{2}, 2 \sigma^2) 然后，从两个伽玛（具有相同比例参数）的总和等于另一个伽玛的事实出发，可以得出该伽玛等于平方正态随机变量的总和。kkk N2Σ(x;k,σ2)=Gamma(x;k2,2σ2)NΣ2(x;k,σ2)=Gamma(x;k2,2σ2) N^2_\Sigma(x; k, \sigma^2) = \operatorname{Gamma}(x; \frac{k}{2}, 2 \sigma^2) 这让我有些惊讶。即使我知道分布（即标准正态RV 平方和的分布）是伽玛的一种特例，但我没有意识到伽玛本质上只是一个允许归纳和任何方差的随机变量。这也导致了我以前从未遇到过的其他特征，例如指数分布等于两个平方正态分布之和。χ2χ2\chi^2 这对我来说有点神秘。以我上面概述的方式，正态分布对伽马分布的推导至关重要吗？我检查的大多数资源都没有提到这两个分布在本质上是相关的，甚至就此而言，它还描述了伽玛的推导方式。这使我认为有些简单的事实正在发挥作用，我只是以复杂的方式强调了这些事实？