条件均值独立性意味着OLS估计量的无偏性和一致性
考虑以下多元回归模型：Y=Xβ+Zδ+U.(1)(1)Y=Xβ+Zδ+U.Y=X\beta+Z\delta+U.\tag{1} 这里是列向量； a矩阵; a列向量; Z a n \ times l矩阵；\增量一升\次1个的列向量; 和U，误差项，n \ times1列向量。YYYn×1n×1n\times 1XXXn×(k+1)n×(k+1)n\times (k+1)ββ\beta(k+1)×1(k+1)×1(k+1)\times 1ZZZn×ln×ln\times lδδ\deltal×1l×1l\times 1UUUn×1n×1n\times1 题 我的讲师是《计量经济学概论》教科书，第三版。 詹姆斯·H·斯托克（James H. Stock）和马克·沃森（Mark W.Watson）281，和《计量经济学：荣誉考试复习会》（PDF），第2页。7，向我表达了以下内容。 如果我们假设所谓的条件平均独立性，根据定义，这意味着E(U|X,Z)=E(U|Z),(2)(2)E(U|X,Z)=E(U|Z),E(U|X,Z)=E(U|Z),\tag{2} 并且如果满足最小二乘假设，但条件均值零假设（因此，我们假设）（请参阅1 -3以下），E(U|X,Z)=0E(U|X,Z)=0E(U|X,Z)=0E(U|X,Z)=E(U|Z)≠0E(U|X,Z)=E(U|Z)≠0E(U|X,Z)=E(U|Z) \neq 0 然后，在这个较弱的假设集合下，中的OLS估计量保持无偏且一致。β^β^\hat{\beta}ββ\beta(1)(1)(1) 我如何证明这一主张？即，1和2以上意味着OLS估计给了我们一个公正的和一致的估计？是否有任何研究文章证明这一主张？ββ\betaββ\beta 评论 最简单的情况是通过考虑线性回归模型给出并证明了OLS估计的如果每个，则是无偏的。Yi=β0+β1Xi+β2Zi+ui,i=1,2,…,n,Yi=β0+β1Xi+β2Zi+ui,i=1,2,…,n,Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\beta_2Z_i+u_i,\quad i=1,2,\ldots,n,β 1 β 1 È （û 我| X 我，Ž 我）= È （û 我| Ž 我）我β^1β^1\hat{\beta}_1β1β1\beta_1E(ui|Xi,Zi)=E(ui|Zi)E(ui|Xi,Zi)=E(ui|Zi)E(u_i|X_i,Z_i)=E(u_i|Z_i)iii 证明无偏的假设和共同正态分布UiUiU_iZiZiZ_i 定义，然后和因此，可以重写为通过，得出现在，由于和共同为正态分布，因此正态分布的理论请参见。推导多元正态分布的条件分布，表示（实际上，我们不需要假设联合正态性，而只需假设此同一性）对于某乘矢量V=U−E(U|X,Z)V=U−E(U|X,Z)V=U-E(U|X,Z)U=V+E(U|X,Z)U=V+E(U|X,Z)U=V+E(U|X,Z)E(V|X,Z)=0.(*)(*)E(V|X,Z)=0.E(V|X,Z)=0\tag{*}.(1)(1)(1)Y=Xβ+Zδ+E(U|X,Z)+V.(3)(3)Y=Xβ+Zδ+E(U|X,Z)+V.Y=X\beta+Z\delta+E(U|X,Z)+V.\tag{3}(2)(2)(2)Y=Xβ+Zδ+E(U|Z)+V.(4)(4)Y=Xβ+Zδ+E(U|Z)+V.Y=X\beta+Z\delta+E(U|Z)+V.\tag{4}UiUiU_iZiZiZ_i …