Questions tagged «embeddings»

已知给定的集（即给定个点具有欧几里得距离），可以等距地将它们嵌入。ℓ d 2 Ñ - [R d ℓ （ Ñnnnℓd2ℓ2d\ell_2^dnnnRdRd{\mathbb R}^dℓ(n2)1ℓ1(n2)\ell^{n\choose 2}_1 等轴测图是否可以在多项式时间内计算（可能是随机的）？ 由于存在有限精度问题，因此精确的问题是 给定{\ mathbb R} ^ d中n个点的集合X和\ epsilon> 0，是否存在映射f：X \到{\ mathbb R} ^ {n \ choose 2}可计算（可能使用随机性）的映射在时间多项式ñ和对数在1 / \小量使得对于每一个X，Y \在X我们有XXXnnnRdRd{\mathbb R}^dϵ>0ϵ>0\epsilon >0f:X→R(n2)f:X→R(n2)f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}nnn1/ϵ1/ϵ1/\epsilonx,y∈Xx,y∈Xx,y\in X ||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) …

27 cg.comp-geom  metrics  embeddings 

甲平面图形是可以被嵌入在平面上，而无需跨越边缘的曲线图。 令是一个k均匀超图，即一个超图，其所有超边的大小都为k。G=(X,E)G=(X,E)G=(X,E)kkk 已经在将超图嵌入平面中（通过集群或其他应用程序的上下文）上进行了一些工作，但是通常，数据根本无法嵌入到平面中。解决的办法可能是强制它，但有一些损失，或者将其嵌入更高的维度，如我在这里建议的那样： 平面度的自然扩展（至少是IMO）是G的“ 简单嵌入”（它有一个已知的不同名称吗？）：嵌入M：X → R k，使得存在连接的表面每个超边的所有顶点，除端点外，这些顶点不相交。kkkGGGM:X→RkM:X→Rk\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k （考虑一下2D中的模拟，其中每个表面都是可以绘制的边缘，但可以随意绘制）。 这是3均匀超图的有效3简单嵌入的示例。（每个顶点由包含在其中的超边缘着色，每个面代表一个超边缘）。 3个简单图的另一个示例是在5个顶点上的完整3一致超图。要查看此图像，只需在R 3中取4个不位于2D平面上的点，创建一个三角形金字塔（其凸包），然后将第五个点放置在金字塔的中心，将其连接到其他顶点。G=(V,V×V×V)G=(V,V×V×V)G=(V,V\times V\times V)R3R3\mathbb{R}^3 同样，似乎在6个顶点上的完整3一致超图没有3简单嵌入。 平面图具有一些非常有用的属性，这些属性允许在平面图为平面时改进解决难题的算法。不幸的是，数据有时不是平面的，尽管有时它是低维的。我认为了解平面图的哪些特性可以帮助我们找出可以使用同一工具将哪些算法应用于更高维度。 一个有用的属性示例来自法里定理，该定理表明每个平面图都可以以其所有边缘均为直线段的方式嵌入。 kkk 还有其他可以概括的属性吗？例如，可以将平面图的欧拉公式以某种方式推广到更高的维度吗？（尽管目前我不确定它的含义是什么）。

12 graph-theory  planar-graphs  hypergraphs  embeddings  generalizations 

考虑两个度量空间和，和嵌入。传统度量空间嵌入将的质量作为原始距离与最终距离的最坏情况之比来测量： (X,d)(X,d)(X, d)(Y,f)(Y,f)(Y, f)μ:X→Yμ:X→Y\mu : X \rightarrow Yμμ\muρ=maxp,q∈X{d(x,y)f(μ(x),μ(y)),f(μ(x),μ(y))d(x,y)}ρ=maxp,q∈X{d(x,y)f(μ(x),μ(y)),f(μ(x),μ(y))d(x,y)} \rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \} 不过，还有其他质量度量标准：Dhamdhere等人研究了“平均”失真： σ=∑d(x,y)∑f(μ(x),μ(y)).σ=∑d(x,y)∑f(μ(x),μ(y)). \sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}. 但是，我在这里感兴趣的度量是类似MDS的方法所使用的度量，它查看平均加法误差： ε2=∑|d(x,y)−f(μ(x),μ(y))|2ε2=∑|d(x,y)−f(μ(x),μ(y))|2 \varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2 尽管类MDS方法在theoryCS社区之外进行了广泛的研究，但我只知道有一篇论文（由Dhamdhere等人进行过）研究了在这种情况下的优化，并且对于嵌入到行中的有限问题（Y=RY=RY = \mathbb{R}）（边注：TASOS Sidiropoulos' 2005年硕士论文具有早期工作的好的评论） 在这种错误观念下，人们是否意识到关于严格质量分析的最新工作？虽然这些问题通常很难解决，但我更感兴趣的是任何近似值。

11 approximation-algorithms  cg.comp-geom  embeddings 

约翰逊-Lindenstrauss引理表示大致是，对于任何集合的Ñ在点- [R d，存在地图˚F ：- [R d → [R ķ其中ķ = Ö （日志ñ / ε 2）使得对于所有X ，ÿ ∈ 小号： （1 − ϵ ）| | f （x ）− f （y ）| | SSSnnnRdRd\mathbb{R}^df:Rd→Rkf:Rd→Rkf:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^kk=O(logn/ϵ2)k=O(log⁡n/ϵ2)k = O(\log n/\epsilon^2)x,y∈Sx,y∈Sx, y \in S 据了解，类似的语句是不可能的 ℓ 1度，但如果通过提供担保较弱各地获得这种下限的任何方式，知道了吗？例如，可以存在是用于上述引理的版本 ℓ 1（1 − ϵ ）| | F（x ）− …

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