Questions tagged «high-dimensional-geometry»

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如果
试想一下,我们有两个大小mmm点集X,Y⊂RnX,Y⊂RnX,Y\subset \mathbb{R}^n。如果仅轮换不同,测试的(时间)复杂度是多少?:存在旋转矩阵OOT=OTO=IOOT=OTO=IOO^T=O^TO=I使得X=OYX=OYX=OY? 这里存在一个表示实数值的问题-为简单起见,假设每个坐标都有一个(简短的)代数公式,这样基本算术运算的成本可以假定为O(1)。 基本问题是这个问题是否在P中? 乍看之下,这个问题看似简单-通常足以测试点的范数和局部关系(例如角度),但有一些讨厌的示例,例如,它等效于图同构问题。 具体来说,查看强正则图(SRG)邻接矩阵的本征空间,我们可以对其进行几何解释。以下是最简单的示例-两个16个顶点SRG,它们在本地看起来是相同的,但不是同构的: SRGs的邻接矩阵始终只有(已知公式的)三个特征值-观察上面特征值2的特征空间(核),它具有上面写的基数6-。标准正交化它(革兰氏施密特),我们得到的可能的正交基大的空间-由不同Ö (6 )旋转,其旋转“垂直载体”:长度为6的16定义这样的集合矢量为X ⊂ - [R 6,| X | = 16,在第二张图中Y对应-将图同构问题转换为X和XA−2IA−2IA-2IO(6)O(6)O(6)X⊂R6X⊂R6X\subset \mathbb{R}^6|X|=16|X|=16|X|=16YYYXXX仅旋转不同。YYY 困难在于所有这些点都在一个球体中并重新建立原始关系:所有邻居(此处为6个)的固定角度均小于90度,所有非邻居(此处为9个)的固定角度均大于90度,如示意图中所示上面的图片。 因此,基于范数和局部角度的测试可以回溯到图形同构问题……但是,几何解释允许对诸如旋转不变量之类的全局特性起作用。 n(n−1)/2n(n−1)/2n(n-1)/2 我们通常可以定义旋转不变式 -问题是构造一组完整的旋转入侵:完全确定一组模旋转。 xTAxxTAxx^T A xTr(Ak)Tr(Ak)Tr(A^k)k=1,…,nk=1,…,nk=1,\ldots,nkkk下面的每个图对应于1,2,3,4阶多项式的单个旋转不变量: p(z)=∏x∈X(x⋅(z−x))p(z)=∏x∈X(x⋅(z−x))p(z)=\prod_{x\in X} (x\cdot (z-x)) p(z)=∑x∈X(x⋅z−a)2(x⋅z−b)2(x⋅z−c)2p(z)=∑x∈X(x⋅z−a)2(x⋅z−b)2(x⋅z−c)2p(z)=\sum_{x\in X} (x\cdot z -a)^2 (x\cdot z -b)^2 (x\cdot z -c)^2 a,b,ca,b,ca,b,c 那么,我们能否检验两个6次多项式是否仅因多项式时间的旋转而不同?如果是这样,则SRG的图同构在P中。 是否有比SRG更严格的示例(用于测试两组是否仅在旋转方面有所不同)?我对此表示怀疑,这要归功于Babai(?)允许拟多项式上限 更新:我被指出与(已解决)正交Procrustes问题相似: minO:OTO=I∥OA−B∥Fachieved forO=UVT, whereBAT=UDVTminO:OTO=I‖OA−B‖Fachieved forO=UVT, whereBAT=UDVT\min_{O:O^TO=I} …



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高维凸多面体的计算量
我正在寻找用于计算/估算高维凸多面体的体积的软件。更具体地说,我对一个程序感兴趣,该程序可以处理维空间中具有个顶点的物体,其参数大致如下所示: 和。注意,不能保证面数。ññndddd≤ 50d≤50d \le 50ñ ≤ 1000ñ≤1000n \le 1000 Jeff Erickson的页面上有一个程序Vinci-1.0.5的链接,该程序的硬限制为255张。这是实现的限制,算法本身可能在合理的时间内处理更多的面孔。 我找不到基于马尔可夫链的估计方法的任何实现,尽管我想它们的效率会更低。 是否有任何软件可以处理上述参数范围或对此有一定程度的放松?我也非常感谢其他参考。
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