Questions tagged «polytope»

我有一个多面体PPP由下式定义{ X ：甲X ≤ b ，X ≥ 0 }{x:Ax≤b,x≥0}\{ x : Ax \leq b, x \geq 0\}。 问题：给定顶点vvv为PPP，是否存在多项式时间算法可从P的图中的vvv的邻居中均匀采样？（维度上的多项式，方程式的数量以及b的表示形式。我可以假设方程式的数量在维度上是多项式的。）PPPbbb 更新：我认为我能够证明这是NP难的，请参阅我的答案来解释该论点。（用ñPNPNP -hard表示，多项式时间算法将证明[R P= NPRP=NPRP = NP ...不确定此处使用的是正确的术语。） 更新2：有两行ñPNPNP硬度证明（给出了正确的组合多义位），我找到了Khachiyan的文章。请参阅答案以获取描述和链接。:-D 一个等效的问题： 彼得·索尔（Peter Shor）在评论中指出，这个问题等同于我们是否可以从一个给定的多边形的顶点均匀采样的问题。（我认为等价性是这样的：在一个方向上，我们可以从具有顶点v的多面体PPP转到v，P / v处的顶点图，对P / v的顶点进行采样就相当于对P / v的顶点进行采样v上P。在另一个方向上，我们可以从一个多面体去P到多面体Q一个更高维度的通过添加锥顶点v和基PvvvvvvP/ vP/vP/vP/ vP/vP/vvvvPPPPPPQQQvvvPPP。然后在Q中对vvv的邻居进行采样等效于对P的顶点进行采样。）QQQPPP 之前已经问过这个问题的提法：https : //mathoverflow.net/questions/319930/sampling-uniformly-from-the-vertices-of-a-polytope

15 reference-request  np-hardness  counting-complexity  linear-programming  polytope 

考虑的变量的矢量，和一组线性通过指定的约束甲→ X ≤ b。x⃗ x→\vec{x}Ax⃗ ≤bAx→≤bA\vec{x}\leq b 此外，考虑两个多表位 P1P2={(f1(x⃗ ),⋯,fm(x⃗ ))∣Ax⃗ ≤b}={(g1(x⃗ ),⋯,gm(x⃗ ))∣Ax⃗ ≤b}P1={(f1(x→),⋯,fm(x→))∣Ax→≤b}P2={(g1(x→),⋯,gm(x→))∣Ax→≤b}\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*} 其中和g是仿射映射。即，它们的形式为→ Ç＆CenterDot;＆→ X + d。（我们注意到，P 1和P 2是多面体，因为他们是多面体的“仿射映射” 一→ X ≤ b）。fffgggc⃗ ⋅x⃗ +dc→⋅x→+d\vec{c}\cdot \vec{x} +dP1P1P_1P2P2P_2Ax⃗ ≤bAx→≤bA\vec{x}\leq b 问题是，如何确定和P 2是否等于集合？有什么复杂性？P1P1P_1P2P2P_2 该问题的动机来自传感器网络，但这似乎是一个可爱的（可能是基本的）几何问题。可以通过枚举和P 2的所有顶点来解决这个问题，但是有没有更好的方法？P1P1P_1P2P2P_2

14 cc.complexity-theory  linear-algebra  linear-programming  polytope