正态近似于均匀和分布的误差
一种近似于正态分布的幼稚方法是将大约均匀分布在上的IID随机变量加在一起，然后根据中心极限定理对它们进行重新缩放和重新缩放。（旁注：还有更精确的方法，例如Box-Muller变换。）IID随机变量的总和称为均匀总和分布或Irwin-Hall分布。100100100[0,1][0,1][0,1]U(0,1)U(0,1)U(0,1) 用正态分布近似均匀和分布时的误差有多大？ 每当出现这种类型的问题以近似IID随机变量的总和时，人们（包括我）都会提出Berry–Esseen定理，这是中心极限定理的有效形式，因为存在第三阶矩： |Fn(x)−Φ(x)|≤Cρσ3n−−√|Fn(x)−Φ(x)|≤Cρσ3n|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{C \rho}{\sigma^3 \sqrt n} 其中是n个 IID随机变量的重新定标和的累积分布函数，\ rho是绝对的第三中心矩E |（X-EX）^ 3 |。，\ sigma是标准偏差，C是绝对常数，可以取为1甚至1/2。FnFnF_nnnnρρ\rhoE|(X−EX)3|E|(X−EX)3|E|(X-EX)^3|σσ\sigmaCCC1111/21/21/2 这是不令人满意的。在我看来，对于离散的二项式分布，Berry-Esseen估计最接近锐利，对于对称的二项式分布，最大误差为000。最大的错误来自最大的跳跃。但是，统一的总和分布没有跳跃。 数值测试表明，误差的减小比c / \ sqrt n更快c/n−−√c/nc/\sqrt n。 使用C=1/2C=1/2C=1/2，Berry–Esseen估计为|Fn(x)−Φ(x)|≤12132112√3n−−√≈0.650n−−√|Fn(x)−Φ(x)|≤121321123n≈0.650n|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{\frac12 \frac{1}{32}}{\frac{1}{\sqrt{12}^3} \sqrt n} \approx \frac{0.650}{\sqrt n} 这对于n=10,20,40n=10,20,40n=10,20,40为约0.2050.2050.205，0.1450.1450.145，和0.1030.1030.103，分别。对于实际的最大差异n=10,20,40n=10,20,40n=10, 20, 40似乎是约0.002810.002810.00281，0.001390.001390.00139和0.0006920.0006920.000692，分别，这要小得多，并且似乎落入如c/nc/nc/n，而不是c/n−−√c/nc/\sqrt n。