以泰勒级数的期望值（尤其是余数）
我的问题涉及试图证明一种广泛使用的方法的合理性，即采用泰勒级数的期望值。假设我们有一个随机变量XXX与正平均μμ\mu和方差σ2σ2\sigma^2。另外，我们有一个函数，例如log(x)log(x)\log(x)。 这样做的泰勒展开logXlogX\log X围绕平均值，我们得到 logX=logμ+X−μμ−12(X−μ)2μ2+13(X−μ)3ξ3X,logX=logμ+X−μμ−12(X−μ)2μ2+13(X−μ)3ξX3, \log X = \log\mu + \frac{X - \mu}{\mu} - \frac12 \frac{(X-\mu)^2}{\mu^2} + \frac13 \frac{(X - \mu)^3}{\xi_X^3}, 其中，按照惯例，ξXξX\xi_X是ST|ξX−μ|<|X−μ||ξX−μ|<|X−μ||\xi_X - \mu| < |X - \mu|。 如果我们的预期，我们将得到一个近似方程，人们通常所说的东西自我明显（见≈≈\approx第一个方程式符号这里）： ElogX≈logμ−12σ2μ2ElogX≈logμ−12σ2μ2 \mathbb{E}\log X \approx \log \mu - \frac12 \frac{\sigma^2}{\mu^2} 问：我感兴趣的是如何证明余项的预期值实际上是可以忽略不计，即 E[(X−μ)3ξ3X]=o(σ2)E[(X−μ)3ξX3]=o(σ2) \mathbb{E}\left[\frac{(X - \mu)^3}{\xi_X^3}\right] = o(\sigma^2) （或，换句话说，E[o(X−μ)2]=o(E[(X−μ)2])E[o(X−μ)2]=o(E[(X−μ)2])\mathbb{E}\bigl[o(X-\mu)^2\bigr] = o\bigl(\mathbb{E}\bigl[(X-\mu)^2\bigr]\bigr)）。 我试图做的：假定σ2→0σ2→0\sigma^2 \to 0（这反过来，装置X→μX→μX …