Questions tagged «computational-geometry»

假设我们有一个有限集LLL中的磁盘R2R2\mathbb{R}^2，我们希望计算最小磁盘DDD为其⋃L⊆D⋃L⊆D\bigcup L\subseteq D。做到这一点的标准方法是使用Matoušek，Sharir和Welzl [1]的算法找到了基础BBB的LLL，并让D=⟨B⟩D=⟨B⟩D=\langle B\rangle，最小的盘片容纳⋃B⋃B\bigcup B。磁盘⟨B⟩⟨B⟩\langle B\rangle可以使用代数的事实是，由于计算BBB为基础，在每个磁盘BBB相切⟨B⟩⟨B⟩\langle B\rangle。 （B⊆LB⊆LB\subseteq L为基础的LLL如果BBB是最小的，使得⟨B⟩=⟨L⟩⟨B⟩=⟨L⟩\langle B\rangle=\langle L\rangle甲基础具有至多三个元件;在一般用于在球RdRd\mathbb{R}^d的基础具有至多d+1d+1d+1。元素） 它是如下的随机递归算法。（但请参见下面的迭代版本，这可能更易于理解。） 过程：MSW(L,B)MSW(L,B)MSW(L, B) 输入：有限的磁盘LLL，BBB，其中BBB是（BBB）的基础。 如果L=∅L=∅L=\varnothing，返回BBB。 否则选择X∈LX∈LX\in L随意。 让B′←MSW(L−{X},B)B′←MSW(L−{X},B)B'\leftarrow MSW(L-\{X\}, B)。 如果X⊆⟨B′⟩X⊆⟨B′⟩X\subseteq\langle B'\rangle然后返回B′B′B'。 否则返回，其中乙”是的基乙' ∪ { X }。MSW(L,B′′)MSW(L,B″)MSW(L, B'')B′′B″B''B′∪{X}B′∪{X}B'\cup\{X\} 用作以计算L的基础。MSW(L,∅)MSW(L,∅)MSW(L, \varnothing)LLL 最近，我有理由实现此算法。在验证了数百万个随机生成的测试用例中的结果正确之后，我注意到我在实现中犯了一个错误。在最后的步骤我被返回，而不是中号小号w ^ （大号，乙”）。MSW(L−{X},B′′)MSW(L−{X},B″)MSW(L-\{X\}, B'')MSW(L,B′′)MSW(L,B″)MSW(L, B'') 尽管存在此错误，该算法仍给出正确的答案。 我的问题：为什么这种算法的错误版本在这里显然给出正确的答案？它总是（证明）有效吗？如果是这样，那么在更高维度上也是如此吗？ 补充：一些误解 几个人提出了不正确的论据，以至于修改后的算法是完全正确的，因此在这里避免一些误解可能很有用。一个普遍的错误信念似乎是。这是该主张的反例。鉴于磁盘一个，b ，c ^ ，d ，È如下面（的边界⟨ 一个，b ，ê ⟩也以红色显示）：B⊆⟨MSW(L,B)⟩B⊆⟨MSW(L,B)⟩B\subseteq\langle MSW(L, B)\ranglea,b,c,d,ea,b,c,d,ea,b,c,d,e⟨a,b,e⟩⟨a,b,e⟩\langle …

17 cg.comp-geom  linear-programming  computational-geometry 

试想一下，我们有两个大小mmm点集X,Y⊂RnX,Y⊂RnX,Y\subset \mathbb{R}^n。如果仅轮换不同，测试的（时间）复杂度是多少？：存在旋转矩阵OOT=OTO=IOOT=OTO=IOO^T=O^TO=I使得X=OYX=OYX=OY？ 这里存在一个表示实数值的问题-为简单起见，假设每个坐标都有一个（简短的）代数公式，这样基本算术运算的成本可以假定为O（1）。 基本问题是这个问题是否在P中？ 乍看之下，这个问题看似简单-通常足以测试点的范数和局部关系（例如角度），但有一些讨厌的示例，例如，它等效于图同构问题。 具体来说，查看强正则图（SRG）邻接矩阵的本征空间，我们可以对其进行几何解释。以下是最简单的示例-两个16个顶点SRG，它们在本地看起来是相同的，但不是同构的： SRGs的邻接矩阵始终只有（已知公式的）三个特征值-观察上面特征值2的特征空间（核），它具有上面写的基数6-。标准正交化它（革兰氏施密特），我们得到的可能的正交基大的空间-由不同Ö （6 ）旋转，其旋转“垂直载体”：长度为6的16定义这样的集合矢量为X ⊂ - [R 6，| X | = 16，在第二张图中Y对应-将图同构问题转换为X和XA−2IA−2IA-2IO(6)O(6)O(6)X⊂R6X⊂R6X\subset \mathbb{R}^6|X|=16|X|=16|X|=16YYYXXX仅旋转不同。YYY 困难在于所有这些点都在一个球体中并重新建立原始关系：所有邻居（此处为6个）的固定角度均小于90度，所有非邻居（此处为9个）的固定角度均大于90度，如示意图中所示上面的图片。 因此，基于范数和局部角度的测试可以回溯到图形同构问题……但是，几何解释允许对诸如旋转不变量之类的全局特性起作用。 n(n−1)/2n(n−1)/2n(n-1)/2 我们通常可以定义旋转不变式 -问题是构造一组完整的旋转入侵：完全确定一组模旋转。 xTAxxTAxx^T A xTr(Ak)Tr(Ak)Tr(A^k)k=1,…,nk=1,…,nk=1,\ldots,nkkk下面的每个图对应于1,2,3,4阶多项式的单个旋转不变量： p(z)=∏x∈X(x⋅(z−x))p(z)=∏x∈X(x⋅(z−x))p(z)=\prod_{x\in X} (x\cdot (z-x)) p(z)=∑x∈X(x⋅z−a)2(x⋅z−b)2(x⋅z−c)2p(z)=∑x∈X(x⋅z−a)2(x⋅z−b)2(x⋅z−c)2p(z)=\sum_{x\in X} (x\cdot z -a)^2 (x\cdot z -b)^2 (x\cdot z -c)^2 a,b,ca,b,ca,b,c 那么，我们能否检验两个6次多项式是否仅因多项式时间的旋转而不同？如果是这样，则SRG的图同构在P中。 是否有比SRG更严格的示例（用于测试两组是否仅在旋转方面有所不同）？我对此表示怀疑，这要归功于Babai（？）允许拟多项式上限 更新：我被指出与（已解决）正交Procrustes问题相似： minO:OTO=I∥OA−B∥Fachieved forO=UVT, whereBAT=UDVTminO:OTO=I‖OA−B‖Fachieved forO=UVT, whereBAT=UDVT\min_{O:O^TO=I} …

12 cc.complexity-theory  complexity-classes  graph-isomorphism  computational-geometry  high-dimensional-geometry 

给定一组的超平面的判定由法线向量，其细胞类型（或符号矢量）是所有矢量吨∈ { + ，- } 米存在用于其的矢量v ∈ [R d使得⟨ v ，ħ 我 ⟩ ≠ 0和吨我 = 符号（⟨ v ，ħ 我 ⟩ ）h1,…,hm∈Rdh1,…,hm∈Rdh_1,\dots,h_m \in \mathbf R^dt∈{+,−}mt∈{+,−}mt\in\{+,-\}^mv∈Rdv∈Rdv\in\mathbf R^d⟨v,hi⟩≠0⟨v,hi⟩≠0\langle v,h_i \rangle \neq 0ti=sign(⟨v,hi⟩)ti=sign(⟨v,hi⟩)t_i = \text{sign}( \langle v,h_i \rangle )拥有一切。这里，⟨ ü ，v ⟩表示内积和符号（X ）表示的符号（+或- ）的非零实数的X。iii⟨u,v⟩⟨u,v⟩\langle u,v\ranglesign(x)sign(x)\text{sign}(x)+++−−-xxx 问题：逆运算最快的已知算法是什么？给定单元格类型的集合，我们希望在尽可能少的维度上计算一些超平面集合，以便其单元格类型是t 1，... ，t n的超集。t1,…,tnt1,…,tnt_1,\dots,t_nt1,…,tnt1,…,tnt_1,\dots,t_n

11 co.combinatorics  cg.comp-geom  computational-geometry  metric-spaces 

有没有实施过分区树？ 在这里，我正在谈论计算几何学中的分区树。最早（接近最佳）的版本是由于Matousek和其他人，以及最近的Timothy Chan： https://cs.uwaterloo.ca/~tmchan/optpt_2_10.pdf 对我来说，这些方法从未实现过，这听起来很疯狂，但是谷歌搜索没有发现任何人曾报告过的实现方法。

11 ds.data-structures  implementation  computational-geometry 

Q。在尺寸为 d的超平面的排列中找到最大体积有界单元的复杂性是什么 ？nnnddd 我觉得我应该知道这一点……但我找不到确切的参考。 是吗？d = 2特化怎么样：线排列中最大面积的有界单元？Ω(nd)Ω(nd)\Omega(n^d)d=2d=2d{=}2

10 computational-geometry  high-dimensional-geometry  arrangements 

给定两个多面体和Q，P和Q，如果有多面体的有限集是equidecomposable P 1，... ，P Ñ和Q 1，... ，Q Ñ使得P 我和Q 我是所有全等我，P = ∪ ñ 我= 1个 P 我和Q = ∪ ñ 我= 1个 QPPP问QQPPPQQQP1,…,PnP1,…,PnP_1, \ldots, P_nQ1,…,QnQ1,…,QnQ_1, \ldots, Q_nPiPiP_iQiQiQ_iiiiP=∪ni=1PiP=∪i=1nPiP = \cup_{i=1}^n P_i。已知如果 P和 Q是等面积的多边形，则始终存在这样的等分分解，并且通常对于较大的尺寸不成立。 Q=∪ni=1QiQ=∪i=1nQiQ = \cup_{i=1}^n Q_iPPPQQQ 我对最小分解问题的复杂性感到好奇： 对于两个多边形和Q，找到一个equidecomposition P 1，... ，P ñ和Q 1，... ，Q ñ最小化ñ。PPPQQQP1,…,PnP1,…,PnP_1, \ldots, P_nQ1,…,QnQ1,…,QnQ_1, \ldots, Q_nnnn 是否有算法（精确，多项式，指数，逼近）？是否知道复杂性？

10 ds.algorithms  computational-geometry  polygon